Taylorreihe für unitären Operator in Weinberg

1. OP hat einen guten Punkt. Im Ausbau

   $$\begin{align}U(T(\theta)) ~=~& {\bf 1} + i\theta^a t_a + \frac{1}{2}\theta^a\theta^b t_{ab} + {\cal O}(\theta^3), \cr &\theta^a \in \mathbb{R},\qquad t_{ab}~=~t_{ba}, \end{align}\tag{2.2.17}$$ es ist nicht sofort klar, ob$t_{ab}$ist hermitesch, wie Weinberg behauptet$^1$. In Gl. (2.2.17)$U$ist eine einheitliche Darstellung einer Lie-Gruppe$G$, dessen Elemente$T(\theta)\in G$werden durch reale Parameter parametrisiert$\theta^a$. Genauer gesagt das Gruppenprodukt $$T(\bar{\theta})T(\theta)~=~U(f(\bar{\theta},\theta)) \tag{2.2.15}$$ wird durch reelle Funktionen erfasst $$f^a(\bar{\theta},\theta)~=~\theta^a+\bar{\theta}^a + f^a{}_{bc} \bar{\theta}^b\theta^c+\ldots.\tag{2.2.19}$$ Dies führt zu $$t_{bc}~=~-t_bt_c -i t_a f^a{}_{bc}. \tag{2.2.21}$$ Die symmetrische Kombination ist $$2t_{bc}~=~-\{t_b,t_c\}_+ -i t_a \left(f^a{}_{bc}+f^a{}_{cb}\right),$$ So$t_{bc}$ist hermitesch genau dann, wenn der letzte Term verschwindet, vgl. Gl. (1') unten.

2. OPs letzte Gl. (2) ist nicht richtig. Aus Gl. (2.2.17), die Unitaritätsbedingung

   $$U^{\dagger}U~=~{\bf 1}~=~UU^{\dagger}$$ ergibt nach zweiter Ordnung in$\theta$Das $$t^{\dagger}_a~=~t_a, \tag{1'}$$ Und $$t^{\dagger}_{ab}+t_{ab}+\{t_a,t_b\}_+~=~0. \tag{2'}$$

Verweise:

1. S. Weinberg, Quantentheorie der Felder, Bd. 1, 1995; Gl. (2.2.17).

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$^1$Man kann spekulieren, dass Weinberg das implizit annimmt$T(-\theta)=T(\theta)^{-1}$so dass$U(T(-\theta))=U(T(\theta))^{\dagger}$, was das impliziert$t_{ab}$ist tatsächlich hermitesch.