Wie einzigartig sind die Quantenzahlen, die wir üblicherweise verwenden?

Wir verwenden die Eigenwerte der Cartan-Generatoren (=Diagonalgeneratoren) einer gegebenen Eichgruppe als Quantenzahlen in der Physik. Sind diese Zahlen irgendwie festgelegt und wenn nicht, welche Transformationen sind erlaubt?

Das einfachste Beispiel ist S U ( 2 ) mit nur einem Cartan-Generator H 1 , die üblicherweise in Form der Pauli-Matrix geschrieben wird σ 3 = ( 1 0 0 − 1 ) : H 1 = 1 2 σ 3 und deshalb

H 1 = ( 1 2 0 0 − 1 2 )

Würde H 1 = ( 1 7 0 0 − 1 7 ) oder H 1 = ( − 1 2 0 0 1 2 ) gleichermaßen "Arbeit"?

Ein etwas komplizierteres Beispiel wäre S U ( 3 ) , das über zwei Cartan-Generatoren verfügt H 1 = 1 2 λ 3 Und H 2 = 1 2 λ 8 , Wo λ 3 Und λ 3 bezeichnen Gell-Mann-Matrizen.

Wie eindeutig sind die diagonalen Einträge dieser Matrizen? Auf welche Weise dürfen wir die Cartan-Generatoren (und damit natürlich die entsprechenden Quantenzahlen) transformieren?

(Eine erlaubte Transformation ist sicherlich diejenige, die wir nennen H 1 und welches H 2 , dh Permutationen. H 1 ↔ H 2 )

Da die Gewichte einer Wiederholung im Cartan-Dual liegen, geben sie die Eigenwerte der Cartan-Generatoren an. Daher sind die Eigenwerte Invarianten einer Darstellung, dh sie bleiben bei jeder Transformation unverändert. Übersehe ich etwas, oder fragst du das?
@ACuriousMind Ich denke nicht, dass das richtig ist. Zum Beispiel sagen die Autoren in diesem Artikel arxiv.org/abs/1502.06929 ausdrücklich: "Wir wählen die fünf linear unabhängigen Cartan-Generatoren wie folgt: ..." Es scheint eine gewisse Freiheit zu geben, und ich versuche zu verstehen, was genau wir sind ändern dürfen, dh auf welche Weise die Eigenwerte des Cartan-Generators, die wir zur Kennzeichnung von Gewichten verwenden, modifiziert werden können. Eine offensichtlich erlaubte Transformation sind zum Beispiel einfache Permutationen: H 1 ↔ H 2
@ACuriousMind Sie haben diese "Wahl" aus diesem Artikel arxiv.org/abs/hep-ph/9309312 kopiert, wo sie erklären, dass sie Linearkombinationen der Basiselemente der Cartan-Subalgebra verwenden, um ihre "Wahl" der Cartan-Subalgebra zu definieren .
Ah, ich verstehe, Sie sprechen von der Freiheit in der Wahl der Cartan-Basis, nicht von der Transformation der gewählten Basis. Ich denke, Ihre Antwort liegt darin, die aus den Eigenwerten berechneten Casimirs anstelle der Eigenwerte selbst zu verwenden, aber ich muss das überprüfen.

Antworten (1)

Hier betrachten wir der Einfachheit halber nur einen beliebigen endlichdimensionalen Komplex 1 Halbeinfache Lie-Algebra G .

I) Man kann zeigen, dass die CSAs genau die maximalen toralen Lie-Unteralgebren von sind G . Insbesondere CSAs sind abelsch.

Auch die Tötungsform κ : G × G → C (der nicht entartet ist) hat eine nicht entartete Einschränkung auf einen CSA, sodass ein CSA kanonisch ein innerer Produktraum und kanonisch isomorph zu seinem dualen Vektorraum ist .

Darüber hinaus sind alle CSAs von G dieselbe Dimension haben (Rang genannt R ) und sind miteinander konjugiert, dh über innere Automorphismen der Lie-Algebra verwandt G . In diesem Sinne sind also alle CSA-Auswahlmöglichkeiten gleichwertig.

II) Betrachten Sie von nun an eine willkürliche, aber fest vorgegebene Wahl von CSA H ⊂ G .

Offensichtlich kann man eine willkürliche Basis wählen ( H 1 , … , H R ) für H .

Eine Wurzel a ∈ H ∗ gehört zum dualen Vektorraum von H . Seine definierende Eigenschaft ist

(1) ∃ X ∈ G ∖ { 0 }   ∀ H ∈ H :     [ H , X ]   =   a ( H ) X .

Aus physikalischer Sicht das Lie-Algebra-Element X ∈ G spielt die Rolle eines verallgemeinerten Auf-/Ab-Erzeugungs-/Vernichtungsoperators und der Wurzel a ∈ H ∗ spielt die Rolle einer verallgemeinerten Quantenzahl.

Beachten Sie insbesondere, dass die Definition (1) grundsätzlich nicht von einer Wahl der Basis abhängt ( H 1 , … , H R ) .

NB: Beachten Sie, dass Autoren häufig andere assoziative/invariante Metriken als die kanonische Killing-Form verwenden κ . Dies kann einen nicht-kanonischen Isomorphismus induzieren H ∗ ≅ H und nicht-kanonische Normalisierungen von Wurzeln.

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1 Viele Ergebnisse und Eigenschaften für komplexe Lie-Algebren gelten weiterhin für echte Lie-Algebren, wenn auch manchmal in modifizierter Form.

Danke für deine Antwort. Der entscheidende Punkt, denke ich, ist, wie bereits von @ACuriousMind erwähnt, dass wir eine Grundlage für die CSA auswählen können. Ich bin mir noch nicht sicher, was das konkret bedeutet, etwa für die beiden oben genannten Beispiele S U ( 2 ) Und S U ( 3 ) . Ich habe noch nie unterschiedliche Matrizen als Cartan-Algebra-Elemente für die entsprechenden Algebren gesehen (= nie unterschiedliche Diagonaleinträge). Können Sie ein weiteres Beispiel für eine mögliche Basiswahl für die CSA nennen, speziell für S U ( 2 ) Und S U ( 3 ) ?
Wie einzigartig sind die Quantenzahlen, die wir üblicherweise verwenden?
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