Lügengruppen mit gleicher Algebra

Question

Lügengruppen mit gleicher Algebra

Physik
Lügen-Algebra
Gruppentheorie
Symmetriebruch
Quantenfeldtheorie
Gruppendarstellungen

Wolpertinger

Ich hatte ein Problem, als ich die Symmetriebrechung in einer SO (4) -Eichtheorie betrachtete:

$\mathcal{L} = \left| D_\mu\phi \right|^2$

Wo $D_\mu$ ist die kovariante SO(4)-Ableitung. Nehmen wir dann an, dass es ein Potential gibt, das ein Minimum hat, so dass wir den Grundzustand so wählen können, dass er ist:

$\langle \phi \rangle = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & v \end{pmatrix}^{T}$

Danach habe ich die ungebrochenen Generatoren gefunden, die eine Untergruppe von SO (4) erzeugen müssen und deren Generatoren die erfüllen $\mathfrak{su}(2)$ Algebra. Nun wollte ich schlussfolgern, dass daher die ununterbrochene Untergruppe SU(2) ist. Aber es gibt mehrere Gruppen, die dieselbe Algebra haben, zB SO(3) auch. Woher weiß ich, welche Untergruppe die richtige ist? Gibt es eine Möglichkeit, dies anhand der expliziten Form der Generatoren zu erkennen? (z. B. die Dimension der Darstellung)

QMechaniker

Das ist eine Übung zur Berechnung der Isotropiegruppe .

TLDR

Sicher. Finden Sie die Untergruppe, die von ununterbrochenen Generatoren erzeugt wird. Welche Untergruppe erscheint Ihnen natürlicher? (Und welche hat wahrscheinlich ein topologisches Hindernis?)

Wolpertinger

@fs137 Was ist ein topologisches Hindernis?

TLDR

Ich denke, ich hätte "Hindernis im Zusammenhang mit globalen und nicht mit lokalen Eigenschaften" schreiben sollen. Wenn Sie nach innen potenzieren

S O (4)

$SO(4)$ die bestimmten Generatoren, die gehen

⟨ ϕ ⟩

$\langle \phi\rangle$ invariant, dann werden Sie feststellen, dass der Abschluss nachgibt

S O (3)

$SO(3)$ und nicht

S U (2)

$SU(2)$ , aber der Grund dafür hat mehr mit Differentialgeometrie als mit Topologie zu tun.

Antworten (2)

Lügengruppen mit gleicher Algebra

Sicher. Finden Sie die Untergruppe, die von ununterbrochenen Generatoren erzeugt wird. Welche Untergruppe erscheint Ihnen natürlicher? (Und welche hat wahrscheinlich ein topologisches Hindernis?)
Ich denke, ich hätte "Hindernis im Zusammenhang mit globalen und nicht mit lokalen Eigenschaften" schreiben sollen. Wenn Sie nach innen potenzieren $SO(4)$ die bestimmten Generatoren, die gehen $\langle \phi\rangle$ invariant, dann werden Sie feststellen, dass der Abschluss nachgibt $SO(3)$ und nicht $SU(2)$ , aber der Grund dafür hat mehr mit Differentialgeometrie als mit Topologie zu tun.

TLDR · Answer 1

Der Vektor $(0,0,0,v)$ wird durch die Menge der Matrizen der Form invariant gelassen

\begin{aligned} M = [\begin{matrix} R & \vec{0} \\ {\vec{0}}^{T} & 1 \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align*} M=\begin{bmatrix} R & \vec 0 \\ \vec 0^T & 1\end{bmatrix} \end{align*}$ Wo

det (M) = det (R) = 1

$\det(M)=\det(R)=1$ Und

M^{- 1} = M^{T}

$M^{-1}=M^T$ impliziert

R^{- 1} = R^{T}

$R^{-1}=R^T$ . Per Definition,

S O (3)

$SO(3)$ ist die Gruppe von 3 mal 3 orthogonalen Matrizen mit der Determinante 1.

Im Allgemeinen müssen Sie die Lie-Gruppe selbst kennen, um die richtige Untergruppe zu finden (dh Sie können die Untergruppe nicht nur aus der Algebra allein finden). Dies liegt genau an Fällen wie $SU(2)$ Und $SO(3)$ die isomorphe Tangentialräume haben, aber unterschiedliche globale Eigenschaften haben.

das beantwortet im Wesentlichen meine Frage, danke! Darf ich noch etwas fragen: Wenn ich eine explizite Darstellung der Lie-Algebra habe (dh in dem Beispiel, das ich gegeben habe, hatte ich die ununterbrochenen Generatoren, die der fundamentalen Darstellung der Gruppe entsprechen), kann ich dann wissen, um welche Gruppe es sich handelt, indem ich einfach potenziere? ? Wie in den Matrizen, die ich daraus bekomme, sind sie nur eine Darstellung von SO (3) oder könnten sie auch eine Darstellung von SU (2) sein? (Ich vermute, sie würden nur SO (3) darstellen)
Es stellt sich heraus, dass $SU(2)$ ist eine doppelte Abdeckung von $SO(3)$ , und es gibt einen surjektiven Homomorphismus aus $SU(2)$ Zu $SO(3)$ . So können Sie sich eine Darstellung ansehen $SO(3)$ als Repräsentation von $SU(2)$ . Notiz $SO(4)$ enthält eine Kopie von $SU(2)$ , aber die Untergruppe von $SO(4)$ die einen gegebenen Vektor bewahrt, ist nicht äquivalent zu dieser Gruppe.

Dirakologie · Answer 2

Zu einer gegebenen Lie-Algebra $\mathfrak g$ Es gibt eine einzigartige Gruppe $\tilde G$ , die universelle Deckgruppe genannt wird, mit der Eigenschaft, einfach verbunden zu sein . Zum Beispiel die Deckgruppe der Algebra $\mathfrak{su}(2)$ Ist $SU(2)$ .

Die anderen Gruppen, $\{G\}$ , die derselben Algebra zugeordnet sind, können auf folgende Weise aus der Überdeckungsgruppe erhalten werden

G = \frac{\tilde{G}}{K e R (ρ)},

$G=\frac{\tilde G}{Ker(\rho)},$ Wo

K e r (ρ)

$Ker(\rho)$ ist der Kern des Gruppenhomomorphismus

ρ : \tilde{G} \to G

$\rho:\tilde G\rightarrow G$ . Sobald Sie eine bestimmte Darstellung definiert haben, können Sie diesen Kernel berechnen. Sie beginnen beispielsweise mit einem

s u (2)

$\mathfrak{su}(2)$ Algebra. Wenn Sie dann die adjungierte Darstellung wählen, können Sie das zeigen

K e r (ρ) = Z_{2}

$Ker(\rho)=\mathbb Z_2$ und die Gruppe wird sein

G = S U (2) / Z_{2} = S O (3)

$G=SU(2)/\mathbb Z_2=SO(3)$ . Auf der anderen Seite, wenn Sie die definierende Darstellung wählen, erhalten Sie

K e r (ρ) = 1

$Ker(\rho)=\mathbb 1$ Und

G = S U (2) / 1 = S U (2)

$G=SU(2)/\mathbb 1=SU(2)$ .

Es sind einige technische Details erforderlich, um diese Kernel zu berechnen. Allgemein,

K e R (ρ) \subset Z (\tilde{G}),

$Ker(\rho)\subset\mathcal Z(\tilde G),$ Wo

Z (\tilde{G})

$\mathcal Z(\tilde G)$ ist das Zentrum von

\tilde{G}

$\tilde G$ , und dieses Zentrum ist eine endliche Gruppe, die aus dem erweiterten Dynkin-Diagramm erhalten werden kann.

Gleiche Referenzen: Cornwell, Gruppentheorie in der Physik, 1984; Olive, Turok, NuclPhys B215, 1983, S. 470;

Ihre Antwort ist schön geschrieben, geht aber nicht auf die gestellte Frage ein.
Ich denke, es spricht. Die Frage ist im Grunde: Bei einem gegebenen Satz von ununterbrochenen Generatoren, die eine Lie-Algebra bilden, und ihrer Darstellung, was ist die zugehörige Lie-Gruppe? Ich habe nur die Antwort gegeben, ohne die Tatsache zu erwähnen $G$ ist eine Gruppe oder eine Untergruppe von etwas anderem. Die Mathematik dahinter ist die gleiche.
Ihre Antwort beschreibt, wie man die Menge aller Gruppen erhalten kann, die mit einer bestimmten Lie-Algebra konsistent sind, beschreibt jedoch nicht, wie man die richtige Gruppe auswählt.
Ich verstehe dein Argument. Aber meine Antwort beschreibt nicht nur, wie man alle Gruppen einer gegebenen Lie-Algebra zuordnet. Es beschreibt auch, wie man die bestimmte und "physikalische" Gruppe in einer bestimmten spontanen Symmetriebrechung (SSB) findet. Sobald Sie eine Darstellung der Eichalgebra und ein bestimmtes SSB definiert haben, kennen Sie die Darstellung der Subalgebra. Dann erhalten Sie die ununterbrochene Gruppe auf die oben beschriebene Weise.
Ich nehme an, da die Symmetrie lokal ist, sollte es in der Störungstheorie keine Rolle spielen, ob wir die ungebrochene Symmetriegruppe als betrachten $SU(2)$ oder $SO(3)$ . Es scheint jedoch, dass die Beziehung zwischen $SO(3)$ Und $SU(2)$ Gittermesstheorien sind subtiler als die „ naive Kontinuumsgrenze“ vermuten lässt: arxiv.org/pdf/hep-lat/0211004.pdf . Wenn es einen signifikanten nicht störenden Unterschied zwischen gibt $SU(2)$ Und $SO(3)$ , dann die Einbettung der ununterbrochenen Gruppe in $SO(4)$ Angelegenheiten.
Und es gibt tatsächlich signifikante nicht störende Unterschiede zwischen $SU(2)$ Und $SO(3)$ . Meist mit topologischen Aspekten verbunden. Eine spontan gebrochene Eichtheorie kann abhängig von der Topologie sowohl der gebrochenen als auch der ungebrochenen Eichgruppen topologische Lösungen (Instantons, Monopole, Wirbel ...) haben oder nicht.
Ja, aber das war der Teil, den ich in Ihrer ursprünglichen Antwort nicht angesprochen gesehen habe (dh das $SO(3)$ statt $SU(2)$ ist in Anbetracht dessen die ununterbrochene Eichgruppe $\langle\phi\rangle$ ist eingestellt auf $(0,0,0,v)$ ).

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