Was ist die axiale Transformation einer Gruppe, dh SU(3)SU(3)SU(3)?

Ein Dirac-Spinor, wie Ihr$q$ist, hat vier Komponenten, die einem linkshändigen und einem rechtshändigen Weyl-(Zwei-Komponenten-)Spinor entsprechen,

$$q = q_L + q_R.$$ $\gamma_5$ist der $4\times4$Matrix, das ist $1$auf der rechten Seite und $-1$auf dem linkshändigen Teil. Der Ausdruck $$q\mapsto q' = \exp(i\Phi_a \lambda^a /2 \gamma_5)q$$ bedeutet $$q_{R(L)} \mapsto q'_{R(L)} = \exp(\pm i\Phi_a \lambda^a/2) q_{R(L)} \tag{1}$$ das heißt, dass die links- und rechtshändigen Teile von $q$anders umwandeln.

Der Betreiber$A = \Phi_a \lambda^a \gamma_5$ist tatsächlich ein Tensorprodukt. Beschreibe das Feld$q$lässt sich am deutlichsten schreiben$q_{f\alpha}$Wo$f = u,d,s$ist ein Geschmacksindex und$\alpha$ist ein Spinorindex. Dann$A$ist das Produkt eines Operators$\Phi_a \lambda^a$Einwirken auf den Geschmacksindex und einen Operator$\gamma_5$wirkt auf den Spinor-Index.

I) Eine axiale (Vektor-)Symmetrietransformation wirkt entgegengesetzt (gleich) unter den linkshändigen und rechtshändigen Teilen eines Dirac-Spinors, vgl. chirale Symmetrie .

II) Die volle Symmetriegruppe ist die Produktgruppe$G=SU(3)_F\times SO(3,1)$. Der Quark$q$Transformationen in der Darstellung$\underline{3} \otimes \underline{4}$, also unter der Fundamentaldarstellung$\underline{3}$der Aromasymmetriegruppe$SU(3)_F$und unter einer Dirac-Spinor-Darstellung$\underline{4}$der Lorentzgruppe. Die Transformation erfolgt auf natürliche Weise, dh die Gellmann-Matrizen$\lambda^{\alpha}$handeln$\underline{3}$und das$\gamma_{\mu}$Matrizen wirken auf den Dirac-Spinor$\underline{4}$. OP hat Recht, dass es ein implizit geschriebenes Tensorprodukt zwischen den beiden Matrizen gibt:$\lambda^{\alpha}\otimes \gamma_5$im Exponential.