Aufbau des Meson-Oktetts und Singuletts

1. Die Lügengruppe $G$hinter dem Meson-Oktett ist die$SU(3)_{\rm Flavor}$Liegegruppe über den drei leichtesten Quarksorten$u$,$d$, Und$s$. Genauer gesagt das Fundamentale$SU(3)$Darstellung

   $$V~=~\text{Fund} ~=~{\bf 3}$$ ist eine lineare Spanne der$u$,$d$, Und$s$Quarks. Die drei komplexen Koeffizienten werden in a gesammelt$3\times 1$Spaltenvektor$v\in V$.

2. Wie funktioniert die$G=SU(3)_{\rm Flavor}$handeln$V$? Es wirkt von links durch Multiplikation$v\in V$mit einem$3\times3$spezielle unitäre Gruppenmatrix$g\in G$, was zu einem neuen Spaltenvektor führt$v'=gv\in V$. Ähnlich,$G$wirkt auf die komplex konjugierte Darstellung$\bar{V}$als$\bar{v}'=\bar{g}\,\bar{v}$. Insbesondere, wenn wir schreiben$\bar{v}$Als ein$1\times 3$Zeilenvektor$v^{\dagger}$, fungiert die Gruppe als$v^{\dagger \prime}=v^{\dagger}g^{\dagger}=v^{\dagger}g^{-1}$.

3. Die Lie-Gruppen-Repräsentationstheorie erklärt, wie das Meson-Nonett in Irreps zerfällt,

   $$\begin{align} {\bf 3} \otimes \overline{\bf 3}~=~&V \otimes \bar{V}\cr ~=~&\text{Fund} \otimes \overline{\text{Fund}}\cr ~\cong~& \text{Adj}\oplus \text{Sing}\cr ~=~& {\bf 8}\oplus {\bf 1}. \end{align}$$

4. Wir können uns identifizieren

   $$\begin{align}V \otimes \bar{V}~\cong~&V \otimes V^\dagger\cr ~\cong~&{\rm Mat}_{3 \times 3}(\mathbb{C}).\end{align}\tag{*}$$ Beachte das$G$wirkt auf beide Räume$V \otimes V^\dagger$Und${\rm Mat}_{3 \times 3}(\mathbb{C})$durch Ähnlichkeitstransformationen .

5. Der$SU(3)$Singulett ist das Eta-Primzahlmeson

   $$\eta'~=~\frac{u\otimes \bar{u}+ d\otimes \bar{d}+ s\otimes \bar{s}}{\sqrt{3}}.$$ Unter der Kennung (*) wird die$\eta'$entspricht a$3 \times 3$Matrix proportional zu der${\bf1}_{3 \times 3}$Einheitsmatrix. Woher wissen wir, dass dies das einzigartige Geschmacks-Singlet ist? Einerseits ist das Singulett dadurch gekennzeichnet, dass es unter der Gruppenwirkung, dh Ähnlichkeitstransformationen, invariant ist. Andererseits wissen wir aus dem Lemma von Schur , dass die einzigen Matrizen, die unter allen Ähnlichkeitstransformationen invariant sind, diejenigen sind, die proportional zur Einheitsmatrix sind. Äquivalent in Bezug auf die entsprechende Lie-Algebra $su(3)$, sind die einzigen Matrizen, die mit allen Generatoren der Lie-Algebra kommutieren, diejenigen, die proportional zur Einheitsmatrix sind. Diese letztere Bedingung kann als die Einschränkung angesehen werden, die OP anfordert.

6. Lassen Sie uns abschließend erwähnen, dass die$SU(3)_{\rm Flavor}$Symmetrie ist im Standardmodell nur eine ungefähre Symmetrie, wie aus den unterschiedlichen Mesonmassen hervorgeht. Der$SU(3)_{\rm Flavor}$Symmetrie zerlegbar über Verzweigungsregeln in (stark)$SU(2)$ Isospin- Symmetrie, siehe zB Kapitel 10 von 't Hoofts Vorlesungsunterlagen . Die pdf-Datei ist hier verfügbar .

Die Beschränkung auf den Singulett-Zustand$\eta' = \frac{1}{\sqrt{3}}(u\bar u+d\bar d+s\bar s)$ist, dass es geschmacklos ist, genauso wie die Einschränkung für den Singulett-Zustand für SU (2) darin besteht, dass es keinen Drehimpuls hat.

Zu zersetzen$3\times 3^* = 8 + 1$Sie müssen zuerst wissen, was die Irreps sind. Sie können diese mit Hebe- und Senkoperatoren erstellen, wie es bei SU(2) der Fall ist.

Wenn Sie mit der grafischen Methode zum Erstellen und Zerlegen von Wiederholungen für SU(2) vertraut sind, werden Sie feststellen, dass es eine analoge Methode für SU(3) gibt. Grundsätzlich sehen die Wiederholungen wie Dreiecke und Sechsecke aus und es gibt eine Möglichkeit, sie grafisch zu multiplizieren. (Natürlich kann man sie auch mit Hebe- und Senkoperatoren zerlegen, aber bei SU(3) wird man das mühsam finden.) Mit dieser Methode kann man mit Bildern sehr schnell rechnen, dass z.B.$3\times 3^* = 8 + 1$Und$3^*\times 3^* = 6^* + 3$. Natürlich werden Sie irgendwann Young-Tableau lernen wollen.

Ich werde es vermeiden, weitere Details zu schreiben und Bilder zu zeichnen, und Ihnen stattdessen eine Referenz zur Verfügung stellen, die dies alles auf dem von Ihnen gesuchten Niveau deutlich macht. Siehe Kapitel 4, Abschnitt 2.

Ta-Pei Cheng und Ling-Fong Li. Eichtheorie der Elementarteilchenphysik

Sie ist nicht willkürlich, sondern ein Ergebnis der Darstellungstheorie$SU(3)$. Quarkfarben bilden einen Vektorraum$C^3$, und ein Quark-Antiquark-Paar ergibt ein Tensorprodukt$C^3 \otimes (C^3)^* \sim C^{3\times 3}$, wird daher durch 3 mal 3 Matrizen dargestellt, auf denen$SU(3)$wirkt durch Konjugation. Dies ist ein 9-dimensionaler Vektorraum, der als Darstellungsraum von$SU(3)$, ist reduzierbar.

Tatsächlich ist der Raum von 3 mal 3 Matrizen eine direkte Summe des 1-dimensionalen Raums von Vielfachen der Identität, auf denen$SU(3)$wirkt trivial, und der 8-dimensionale Raum von Matrizen der Spur Null, auf denen$SU(3)$wirkt (da die Konjugation die Spurlosigkeit bewahrt). Es ist nicht sehr schwierig zu zeigen, dass diese Darstellung tatsächlich irreduzibel ist.

Also die Zerlegung$3 \otimes 3^* = 1 + 8$in ein Singulett und ein Oktett ist nicht willkürlich, sondern bestimmt durch die Eigenschaften von$SU(3)$.

Es ist ein vollständiges Analogon der Zersetzung$2 \otimes 2^* = 1 + 3$für$SU(2)$(dh drehen).