Einführung in den physischen Inhalt von adjungierten Repräsentationen

Der Index ist einfach die Ladung der gegebenen Darstellung unter der$U(1)$, in diesem Fall die Überladung. Alle irreduziblen einheitlichen Darstellungen von$U(1)$sind eindimensional und bilden das nur ab$e^{i\alpha}$Element von$U(1)$(A$1\times 1$Matrix) zu$e^{iQ\alpha}$, seine Potenz, wobei der Exponent den Faktor der Ladung enthält$Q$.

Man muss die Darstellungen von Lie-Gruppen studieren, um Zerlegungen wie die Ihre erstellen zu können. Nehmen Sie zB Lie-Algebra in der Teilchenphysik von Howard Georgi, ein Buch eines GUT-Pioniers und meines Ex-Kollegen in Harvard. Natürlich gibt es auch viel formalere, mathematisch orientierte Bücher. In vielen von ihnen könnte es schwierig sein, zu den für die GUT-Modellerstellung erforderlichen Zerlegungen zu gelangen. Aber wenn Sie tatsächlich verstehen, wie die Darstellungen, Tensorprodukte, Ladungen, Generatoren, irreduziblen Darstellungen usw. definiert sind, ist es eine Frage der mathematischen Argumentation, die Sie selbst tun können, um ähnliche Zerlegungen abzuleiten.

Nimm diesen speziellen. Der$SU(5)$Die adjungierte Darstellung kann als hermitische Matrix angesehen werden$M$und die Aktion des Gruppenelements$G\in SU(5)$ist einfach

$$M \mapsto G M G^{-1}$$ Beachten Sie, dass es zwei Kopien von gibt $G$Und $G^{-1}=G^\dagger$weil es einheitlich ist.

Der Hermitianer$5\times 5$Matrix hat 25 unabhängige reelle Einträge. Eine allgemeine Matrix hätte 25 komplexe Einträge, aber diejenigen unterhalb der Hauptdiagonale sind durch diejenigen oberhalb der Hauptdiagonale gegeben. Und die diagonalen Einträge sind real, also enthalten sie "die Hälfte der realen Parameter". Zusammenfassend überlebt genau die Hälfte der Parameter die Hermitizitätsbedingung.

Die eigentliche adjungierte Darstellung von$SU(5)$im Gegensatz zu$U(5)$ist nur 24-dimensional. Das Lie-Gruppenelement hätte eine Einheitsdeterminante (a priori eine komplexe Zahl mit einem absoluten Wert gleich eins). Jedoch,$M$stammt aus der Lie-Algebra, in die die Determinantenbedingung übersetzt wird${\rm Tr}(M)=0$. Die Matrix ist spurlos.

Betten Sie nun die Gruppe Standardmodell darin ein$SU(5)$. Der$SU(3)$Und$SU(2)$Elemente werden einfach durch eine Blockdiagonalmatrix mit a eingebettet$3\times 3$Block in der linken oberen Ecke, der die darstellt$SU(3)$Informationen und andere$2\times 2$Block in der rechten unteren Ecke, der die darstellt$SU(2)$Element. Diese Einbettung macht deutlich, dass wir die Vektoren mit 5 Komponenten auf 3+2 Komponenten aufteilen.

Ebenso werden die 24 oder 25 Einträge der quadratischen Matrix in die Quadrate und Rechtecke aufgeteilt,$3\times 3$,$2\times 3$und in der nächsten dicken Reihe$3\times 2$Und$2\times 2$. Du sollst a zeichnen$5\times 5$Quadrat und teilen Sie es in diese vier Quadrate oder Rechtecke.

Der 25$U(5)$würde einfach in diese vier Repräsentationen zerfallen, aber sie wären nicht ganz irreduzibel. Die Spur des$3\times 3$quadratischer Block in der linken oberen Ecke und die Spur des$2\times 2$Block in der gegenüberliegenden Ecke kann getrennt werden. In der 24-dimensionalen Darstellung von$SU(5)$, wird eine dieser beiden Spuren eliminiert, sodass nur eine übrig bleibt. Es ist das$(1,1)$Vertretung in Ihrer Liste.

Ansonsten entsprechen die restlichen vier Darstellungen genau den Quadraten und Rechtecken. Der$3\times 3$Quadrat gibt Ihnen die$(8,1)$: es ist das gleiche Quadrat wie das Original für$SU(5)$aber kleiner. Es verwandelt sich offensichtlich nur unter der$SU(3)$Transformationen, die die ersten drei Zeilen und die ersten drei Spalten mischen. Es ist das Adjoint von$SU(3)$Und$8=3^2-1$ähnlich wie$24=5^2-1$. Ähnlich$(1,3)$kommt von der Adjunktion von$SU(2)$nur betroffen von der$SU(2)$Transformationen u$3=2^2-1$. Das ist das rechte untere Quadrat.

Dann haben Sie die Off-Block-diagonalen Elemente, die eine Größe haben$3\times 2$also müssen sie sich offensichtlich so umwandeln$(3,2)$, das Tensorprodukt der Fundamentaldarstellungen der$SU(3)$Und$SU(2)$Gruppen. Es gibt zwei solche Darstellungen – über der Diagonale und unter der Diagonale. Sie sind komplex konjugiert zueinander. Denn die Darstellungen$3$Und$2$der kleineren Gruppen sind real, der einzige Einfluss der komplexen Konjugation ist das entgegengesetzte Vorzeichen von$U(1)$Aufladung.

Abschließend muss ich noch auf die Indizes eingehen. Die gerade erwähnte rechteckige Darstellung außerhalb der Diagonale hat eine Ladung ungleich Null$Y$, der andere hat den gleichen Wert mit umgekehrtem Vorzeichen. Alle anderen Darstellungen müssen natürlich eine verschwindende Ladung unter sich haben$U(1)$denn diese drei Begriffe$(8,1)$,$(1,3)$, Und$(1,1)$sind nichts anderes als die adjungierte Darstellung der Standardmodellgruppe und alle Generatoren dieser Gruppe kommutieren mit der$U(1)$, die Hyperladung.

Die einzige noch zu erklärende Zahl ist also die$5/6$Gebühr für die rechteckige Darstellung, und$-5/6$für das komplexe Konjugierte auf der gegenüberliegenden Seite des Quadrats. Die Normalisierung dieser Ladung ist eine Konvention. Sie können die Überladung entsprechend Ihren Konventionen neu skalieren. Die Verhältnisse der Hyperladungen sind jedoch physikalisch. Und die Überladung muss ein Vielfaches von sein${\rm diag}(+2,+2,+2,-3,-3)$weil es mit allen Matrizen von pendeln muss$SU(3)$Und$SU(2)$in den Blöcken, also in den Blöcken, muss es ein Vielfaches der Einheitsmatrix sein, und die Hyperladung muss spurlos sein, um ein Generator von zu sein$SU(5)$, wie ich erwähnte, und$2\times 3 - 3\times 2$wirklich storniert.

Die Normalisierung dieser$U(1)$Hyperladungsgenerator in der Physik wird so gewählt, dass er mit den Konventionen der elektroschwachen Physik übereinstimmt. Die Hyperladung$Y$ist definiert als die durchschnittliche elektrische Ladung in an$SU(2)$elektroschwaches Multiplett, so dass$Q=Y+T_3$. Manchmal die Definition$Q=Y/2+T_3$wird eingesetzt.

In GUT-Theorien werden die nicht-diagonalen Blöcke der Adjunkten aufgrund einer gewissen GUT-Symmetriebrechung zu enorm massiven Partikeln. Diese$(3,2)$Zustände verursachen Protonenzerfall, also sollten sie besser sehr schwer sein. Wir können sie nicht mit bekannten Teilchen vergleichen.

Sie können jedoch eine nehmen$5$von$SU(5)$, die fundamentale Darstellung, die die Quarkfelder erzeugen sollte, die elektroschwache Singuletts sind: Beachten Sie, dass dies$5$hat nur Komponenten, die entweder unter transformieren$SU(3)$oder$SU(2)$. Es ist also zum Beispiel ein rechtshändiges Up-Quark. Seine Hyperladung ist der Durchschnitt des Mutliplets, aber weil es eigentlich nur das Anti-Down-Quark ist, bekommt man es$Y=1/3$. In ähnlicher Weise sind die verbleibenden zwei Komponenten ein elektroschwaches Dublett, wie das Elektron und das Neutrino, dessen$Y=((-1)+0)/2=-1/2$.

Die Staaten$(3,2)$im Zersetzten$SU(5)$Adjunkt kommen aus$5\otimes \bar 5$und die nicht-diagonalen Stücke entstehen aus$3\otimes \bar 2$also die$Y$der ersten sollte ergänzt werden$-Y$des zweiten Faktors und Sie erhalten$Y=-1/3-1/2=-5/6$. Beachten Sie, dass die Konvention$Q=Y+T_3$ohne den Faktor von$1/2$wurde benutzt. Erhalten der Zeichen und Faktoren von$2$Recht mag chaotisch sein, aber ich hoffe, es ist im Wesentlichen richtig.