Woher kommt in der GUT-Symmetrie das Brechen von U(1)U(1)U(1)?

Question

Woher kommt in der GUT-Symmetrie das Brechen von U(1)U(1)U(1)?

Physik
Lügen-Algebra
Gruppentheorie
Große Vereinigung
Symmetriebruch

Tim

Bei GUTs beginnt man mit einer größeren Gruppe, wie z $SU(5)$ , die dann beispielsweise in kleinere Gruppen aufgeteilt wird

S U (5) ⟶ S U (3) \times S U (2) \times U (1)

$SU(5) ~\longrightarrow~ SU(3) \times SU(2) \times U(1)$

Dies sieht man zum Beispiel, wenn man sich das Dynkin-Diagramm für anschaut $SU(5)$ : Das Entfernen eines Knotens hinterlässt uns die Dynkin-Diagramme für $SU(3)$ Und $SU(2)$ .

Mein Problem ist zu verstehen, wo $U(1)$ kommt von. Ich habe mehrere Aussagen darüber gelesen, konnte aber die Puzzleteile nicht zusammenfügen. Dynkin-Diagramme sind eine Ebene der Lie-Algebren. Das Entfernen eines Knotens bedeutet, dass wir einen Generator entfernen. Zum Beispiel in diesem Handout 2010 aus dem Kurs Symmetries in Physics von Michael Flohr:

Durch das Entfernen eines Knotens wird der Rang der Subalgebra um eins reduziert, und die einfachen Wurzeln sind eine Teilmenge der ursprünglichen einfachen Wurzeln. Auf der Ebene der Gruppen finden wir also
$G = G_{1} \times G_{2} \times U (1),$ $G=G_1\times G_2 \times U(1),$ wo die zusätzliche $U(1)$ Faktor kommt vom ausgelassenen Cartan-Generator. Zum Beispiel, $SU(n+m)$ kann auf diese Weise in reduziert werden $S U (N) \times S U (M) \times U (1) .$ $SU(n)\times SU(m)\times U(1).$ Dies ist der klassische Ansatz für eine GUT: $SU(5)$ wird eingebrochen $S U (3) \times S U (2) \times U (1) .$ $SU(3)\times SU(2)\times U(1).$

In diesem Artikel von John Baez wird das behauptet $SU(3) \times SU(2) \times U(1)$ ist keine Untergruppe von $SU(5)$ und ein gewisser Homomorphismus wird verwendet, um zu rechtfertigen, warum $U(1)$ erscheint.

BEARBEITEN:

In Lie Algebras In Particle Physics: from Isospin To Unified Theories schreibt Georgi:

„Die ausgelassenen Cartan-Generatoren erzeugen $U(1)$ Faktoren"

und mein Problem ist zu verstehen, warum dies der Fall ist.

Irgendwelche Ideen, um dies zu klären, wären großartig!

Antworten (1)

Woher kommt in der GUT-Symmetrie das Brechen von U(1)U(1)U(1)?

QMechaniker · Answer 1

Ref. 1 scheint eine Symmetriebrechung nicht zu erwähnen $U(1)$ das gehört zum teil von $SU(5)$ das ist nicht im Standardmodell. In dieser Antwort gehen wir davon aus, dass OP wirklich nach der schwachen Überladung fragt $U(1)$ k-Faktor des Standardmodells.
Erinnern Sie sich auf der Ebene der Lie-Algebra daran, dass die Lie-Algebra $su(n)$ besteht aus Hermitian spurlos $n\times n$ Matrizen und hat Rang $n-1$ . In der Inklusion
$\underset{Rang N - 1}{\underset{⏟}{S u (N)}} \oplus \underset{Rang M - 1}{\underset{⏟}{S u (M)}} \oplus u (1) \subset \underset{Rang N + M - 1}{\underset{⏟}{S u (N + M)}},$ $\underbrace{su(n)}_{\text{rank } n-1} \oplus \underbrace{su(m)}_{\text{rank } m-1} \oplus u(1)~\subset~ \underbrace{su(n+m)}_{\text{rank } n+m-1},$ die maximale abelsche Subalgebra [der diagonalen Hermiteschen spurlos $(n+m)\times(n+m)$ Matrizen] ist auf beiden Seiten gleich. Die Lie-Algebra auf der linken (rechten) Seite ist reduktiv ( einfach ). Ein spurloser Cartan-Generator für die oben genannten $u(1)$ Ist
$(\begin{matrix} - M 1_{N \times N} & 0_{N \times M} \\ 0_{M \times N} & N 1_{M \times M} \end{matrix}) \in S u (N + M) .$ $\begin{pmatrix} -m\mathbb{1}_{n\times n} & \mathbb{0}_{n\times m} \cr \mathbb{0}_{m\times n} & n\mathbb{1}_{m\times m} \end{pmatrix}~\in~su(n+m).$
Betrachten wir nun die Gruppenebene. Definieren
$k := G C D (N, M), N^{'} := N / k Und M^{'} := M / k,$ $k~:=~{\rm gcd}(n,m), \quad n^{\prime}~:=~n/k \quad\text{and}\quad m^{\prime}~:=~m/k,$ damit die ganzen Zahlen $n^{\prime}$ Und $m^{\prime}$ sind teilerfremd. Der Homomorphismus der Lie -Gruppe $G := S U (N) \times S U (M) \times U (1) ∋ (G, H, a) \overset{Φ}{\mapsto} (\begin{matrix} a^{- M^{'}} G & 0_{N \times M} \\ 0_{M \times N} & a^{N^{'}} H \end{matrix}) \in S U (N + M)$ $G~:=~SU(n) \times SU(m) \times U(1)~\ni~ (g,h,\alpha)~\stackrel{\Phi}{\mapsto}~\begin{pmatrix} \alpha^{-m^{\prime}}g & \mathbb{0}_{n\times m} \cr \mathbb{0}_{m\times n} & \alpha^{n^{\prime}} h \end{pmatrix}~\in~ SU(n+m)$ ist nicht injektiv . Genau genommen der Kernel $K e R (Φ) ≅ Z_{N M / G C D (N, M)}$ ${\rm Ker}(\Phi) ~\cong~\mathbb{Z}_{nm/{\rm gcd}(n,m)}$ wird von den Elementen erzeugt $(e^{ich 2 π J / N} 1_{N \times N}, e^{- ich 2 π J / M} 1_{M \times M}, e^{ich 2 π J k / N M}) \in G, J \in {1, \dots, k} .$ $\left(e^{i2\pi j/n}\mathbb{1}_{n\times n},~e^{-i2\pi j/m}\mathbb{1}_{m\times m},~e^{i2\pi jk/nm}\right)~\in~G, \quad j~\in~\{1,\ldots,k\}.$ Die Lügengruppe $G$ ist keine Untergruppe von $SU(n+m)$ , sondern die Quotientengruppe $G / K e R (Φ) ≅ G / Z_{N M / G C D (N, M)}$ $G/{\rm Ker}(\Phi) ~\cong~G/\mathbb{Z}_{nm/{\rm gcd}(n,m)}$ ist eine Untergruppe von $SU(n+m)$ .

Verweise:

JC Baez, Calabi-Yau Manifolds and the Standard Model, arXiv:hep-th/0511086 .

Ich frage mich, ob Sie das wissen physical.stackexchange.com/q/567129/42982 ?

Woher kommt in der GUT-Symmetrie das Brechen von U(1)U(1)U(1)?

Tim

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QMechaniker

ann marie coeur

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