Faktorisieren einer Exponentialform eines Gruppenelements einer Lie-Gruppe unter Verwendung von Untergruppen

Ich arbeite an der nichtlinearen Realisierung von Goldstone-Bosonen, wie es Weinberg in Abschnitt 19.6 von Quantentheorie der Felder, Band II, getan hat.

Wir haben eine echte, kompakte und verbundene Lie-Gruppe G mit als Untergruppe H . Lassen T A seien die Erzeuger von H , Und X ich werden die Generatoren übrig (gebrochene Generatoren), so dass sie zusammen die Lie-Gruppe aufspannen G , G . Ein allgemeines Element von G kann dann nach meinem Verständnis geschrieben werden

G = exp ⁡ { ich ( ξ ich X ich + θ A T A ) } .
Weinberg behauptet jedoch, dass wir schreiben können (Gl. 19.6.12)
G = exp ⁡ { ich ξ ich ' X ich } exp ⁡ { ich θ A ' T A } .
Dies wird auch in anderen Quellen verwendet, die sich mit demselben Material befassen. Warum ist das wahr? Es scheint mir plausibel, wenn ich es mir ansehe S Ö ( 3 ) Als Beispiel habe ich jedoch weder einen Beweis noch eine wirkliche Begründung für diese Form gesehen.

Bearbeiten: Also habe ich den Ursprung der Behauptung untersucht, die, wie Cosmas in den Kommentaren feststellt, dieses Papier von CWZ ist. Die Aussage hier ist qualifiziert als „in irgendeiner Nachbarschaft von G , irgendein Element G ∈ G kann eindeutig zerlegt werden als G = exp ⁡ ( ich ξ ich X ich ) exp ⁡ ( ich θ A T A ) . Dies ist eine schwächere Aussage und scheint aus dem Umkehrfunktionssatz direkt hervorzugehen.

Die Aussage trat in den Mainstream der Physik in CWZ ein .
Sie verlangen einen Nachweis der CBH-Karte ( ξ ' , θ ' ) ↦ ( ξ , θ ) ist invertierbar, oder?
Oder das ( ξ ' , θ ' ) → G ist surjektiv, denke ich.
Rechts. Dies ist jedoch eine rein mathematische Frage, die am besten im MSE behandelt wird. Wenn Sie den Mut dazu haben, sollten Sie durch Fulton & Harris gehen .

Antworten (1)

Beides stimmt eigentlich. In einer Umgebung der Identität definieren beide Abbildungen lokale Diffeomorphismen vom Tangentialraum am Identitätselement zur Lie-Gruppe. Beachten Sie, dass die Karten unterschiedlich sind: Dasselbe Element der Gruppe wird durch zwei verschiedene Wertesätze bestimmt. Man spricht von Koordinaten erster und zweiter Art. Der Beweis beruht auf dem Umkehrfunktionssatz: In beiden Fällen ist das Differential der Abbildung am Ursprung des Tangentialraums nicht singulär und die Abbildung ist dann ein lokaler Diffeomorphismus.

Reicht dies aus, um zu dem Schluss zu kommen, dass irgendein Element von G kann man so schreiben?
Nein, nicht jedes Element. Jedes Element ist jedoch ein endliches Produkt der Produkte von nur zwei Faktoren. Dies ist eine Folge der Tatsache, dass die Gruppe verbunden ist.
Nun, das ist nicht stark genug. Weinberg behauptet: „Weil T A Und X ich Spanne die Lie-Algebra von G , jedes endliche Element von G kann im Formular ausgedrückt werden G = exp ⁡ ( ich ξ ich X ich ) exp ⁡ ( ich θ A T A ) ". Wollen Sie damit sagen, dass dies nicht wahr ist? Soweit ich das beurteilen kann, ist dies für die Konstruktion der Realisierung der Goldstone-Bosonen erforderlich.
Ich sage nicht, dass es nicht wahr ist. Vielleicht ist es. Aber der Beweis ist nicht trivial.
Schauen Sie sich das Buch von Barut Raczak zur Repräsentationstheorie an.
Vielen Dank für die Berücksichtigung der Frage, es hat mich genervt. Es ist immer gut zu hören, dass Ihre Probleme nicht trivial sind.
Es sollte jedoch eine bekannte Tatsache sein, wenn es wahr ist. Zum Beispiel ist bekannt, dass, wenn die Gruppe kompakt ist, die Exponentialabbildung surjektiv ist (nicht notwendigerweise injektiv außerhalb einer Umgebung der Identität).
Wie meine obige Bearbeitung sagt, scheint das Originalpapier nur die schwächere Behauptung "in einer Nachbarschaft der Identität von" zu erfordern G ". Ich denke, die starke Behauptung ist vielleicht nicht wahr oder notwendig, aber ich muss sie mir genauer ansehen.
Faktorisieren einer Exponentialform eines Gruppenelements einer Lie-Gruppe unter Verwendung von Untergruppen
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