Wie zerlegt man die Darstellung von SU(5)SU(5)\rm SU(5)?

Question

Wie zerlegt man die Darstellung von SU(5)SU(5)\rm SU(5)?

Physik
Lügen-Algebra
Gruppentheorie
Große Vereinigung
Repräsentationstheorie
Beyond-the-Standard-Modell

Shen

Diese Frage stammt aus Srednickis Lehrbuch „Quantenfeldtheorie“ . Auf den Seiten 514-515 heißt es:

Unter dem ungebrochenen $\rm SU(3)\times SU(2) \times U(1)$ Untergruppe, die $5$ Darstellung von $\rm SU(5)$ verwandelt sich als
$\begin{matrix} (84.12/97.2) & 5 \to (3, 1, - \frac{1}{3}) \oplus (1, 2, + \frac{1}{2}) . \end{matrix}$ $\begin{equation} 5 ~\rightarrow~ \left(3, 1, -\frac{1}{3}\right) \oplus \left(1, 2, +\frac{1}{2}\right) .\tag{84.12/97.2} \end{equation}$

Ich frage mich ─ wie wird diese Zerlegung abgeleitet?

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Wie zerlegt man die Darstellung von SU(5)SU(5)\rm SU(5)?

QMechaniker · Answer 1

Eigentlich die Lie-Gruppe
$G := S U (3) \times S U (2) \times U (1)$ $G:=SU(3)\times SU(2) \times U(1)$ ist keine Untergruppe von $SU(5)$ . Allerdings die Standard-Modellspurgruppe $G/\mathbb{Z}_6$ ist eine Untergruppe der GUT- Eichengruppe $SU(5)$ , vgl. zB this , this & this Phys.SE Beiträge.
Wir werden hier auf der Ebene der Lie-Algebren argumentieren
$S u (3) \oplus S u (2) \oplus u (1) \subseteq S u (5) .$ $su(3)\oplus su(2) \oplus u(1)\subseteq su(5).$ Im Detail identifizieren wir $su(5)$ mit antihermitischen spurlos $5\times 5$ Matrizen; $su(3)$ mit antihermitischen spurlos $3\times 3$ Blockmatrizen in Zeilen/Spalten 1,2,3; Und $su(2)$ mit dem Anti-Hermitianer spurlos $2\times 2$ Blockmatrizen in Zeilen/Spalten 4,5; während $u(1)$ wird durch die diagonale spurlose Matrix erzeugt ${\rm diag}(-2,-2,-2,3,3)$ mal eine imaginäre Zahl.
Der Vektorraum $V_5=V_3\oplus V_2$ der definierenden/grundlegenden Darstellung $\underline{\bf 5}$ von $su(5)$ wird in die definierende/fundamentale Repräsentation zerlegt $\underline{\bf 3}$ von $su(3)$ in den Reihen 1,2,3; und die definierende/grundlegende Repräsentation $\underline{\bf 2}$ von $su(2)$ in den Reihen 4,5.
Andererseits die ersten drei Reihen $V_3$ sind ein Singulett darunter $su(2)$ ; während die letzten beiden Zeilen $V_2$ sind ein Singulett darunter $su(3)$ .
Beachten Sie auch, dass der Generator von $u(1)$ hat die gleiche schwache Hyperladung / den gleichen Eigenwert $-2i$ Und $3i$ An $V_3$ Und $V_2$ , bzw. Die Gesamtnormalisierung der schwachen Hyperladung hängt von Konventionen/Wahl der ab $u(1)$ Generator.
Insgesamt ist die Zersetzung der $su(5)$ Vertretung wird
$\underline{5} ≅ (\underline{3} \otimes \underline{1})_{- \frac{1}{3}} \oplus (\underline{1} \otimes \underline{2})_{\frac{1}{2}} .$ $\underline{\bf 5}~~\cong~~(\underline{\bf 3}\otimes\underline{\bf 1})_{-\frac{1}{3}}~~\oplus~~ (\underline{\bf 1}\otimes\underline{\bf 2})_{\frac{1}{2}}.$

Wie zerlegt man die Darstellung von SU(5)SU(5)\rm SU(5)?

Shen

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QMechaniker

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