Quadratischer Casimir-Operator höherdimensionaler su(3)su(3)\mathfrak{su}(3)-Darstellungen

Ich vermute, Sie haben nicht gefragt, was Sie wollten. Die Operatorform aller Casimir-Operatoren ist dieselbe, wie Lionelbrits betont, und SU(3) hat zwei unabhängige Operatoren , im Gegensatz zu SU(2), die nur eine hat, die quadratische. Die beiden sind eine quadratische und eine kubische, die hier der Vollständigkeit halber enthalten sind.

Die Eigenwerte dieser Operatoren variieren jedoch mit der (irreduziblen) Darstellung und dienen tatsächlich dazu, zwischen ihnen zu unterscheiden und sie zu kennzeichnen/charakterisieren, vgl. Pais (1966) .

Alle Zustände in einer gegebenen irreduziblen Darstellung nehmen denselben Wert für jeden Casimir-Operator an, der als Identität in einem Raum mit der Dimension dieser Darstellung dient. Dies liegt daran, dass Zustände in einer gegebenen Darstellung durch die Wirkung der Generatoren der Lie-Algebra verbunden sind und alle Generatoren mit den Casimir-Operatoren kommutieren.

Für SU(3) ist der quadratische Casimir$\hat{C_2}=\sum_k \hat{F_k} \hat{F_k}$, und die kubische ist$\hat{C_3}=\sum_{jkl}d_{jkl} \hat{F_j} \hat{F_k} \hat{F_l}$. Die F̂s sind die 8 normalisierten Generatoren dieser Lie-Algebra.

Die irreduziblen Darstellungen von SU(3) werden in der Dynkin-Basis mit bezeichnet$D(p,q)$, bestehend aus$p$Quarks und$q$Antiquarks (in Young-Tableaus,$p$ist die Anzahl der Single-Box-Spalten und$q$die Anzahl der Double-Box-Spalten): Sie haben eine Dimension$d(p,q)=\frac{1}{2}(p+1)(q+1)(p+q+2)$.

Zum Beispiel für die Triplettdarstellung$D(1,0)$, der Eigenwert von$\hat{C}_2$ist 4/3, und von$\hat{C}_3$, 10/9.

Allgemeiner gesagt, für generische irrep$D(p,q)$, der Eigenwert von$\hat{C}_2$Ist$(p^2+q^2+3p+3q+pq)/3$, was ich vermute, war das, was Sie oben wirklich gefragt haben.

NB Nebenbei, streng genommen: Der Eigenwert ("Anomaliekoeffizient") der kubischen,$\hat{C}_3$, Ist$(p-q)(3+p+2q)(3+q+2p)/18$, eine ungerade Funktion unter dem Austausch p↔q . Folglich verschwindet es für reelle Darstellungen, p = q , wie die Adjungierte,$D(1,1)$, dh sowohl dieser kubische Casimir als auch Anomalien verschwinden für das Oktett, die 27 , die 64 , etc..

Die algebraische Form des quadratischen Kasimirs$T^2$hängt nur von den Strukturkonstanten ab und ist daher in jeder Darstellung gleich. Wie in$SU(2)$, seine Matrixform ist natürlich darstellungsabhängig.

Bearbeiten: Um zu sehen, warum dies der Fall ist, nehmen Sie an, Sie haben konstruiert$T^2$aus anderen Elementen der Algebra, und Sie haben dies zum Beispiel für die fundamentale Darstellung getan. Das musstest du dann zeigen$\left[T^2, T_i\right]=0$für alle$T_i$. Natürlich können Sie nur die Strukturkonstanten verwenden, dh$[T_i, T_j] = i f_{ijk} T_k$Und$\{T_i, T_j\} = \frac{1}{N} \delta_{ij} + d_{ijk} T_k$um dies zu zeigen. Diese hängen aber nicht von der Darstellung ab. Sie definieren die Algebra, dh sie machen sie aus$\mathfrak{su}(N)$.