Der Antikommutator von SU(N)SU(N)SU(N)-Generatoren

Tatsächlich der Antikommutator

$$S^{AB}\equiv \{T^A,T^B\}$$ ist nicht in der Lie-Algebra, sondern in der universellen Hüllalgebra (gebildet durch Summen von Produkten von Generatoren); und wie Sie in Ihrer Antwort zu schätzen wussten, befindet es sich nur für die grundlegende Darstellung im Raum, der die Identität und die Lie-Algebra umfasst – aufgrund ihrer Vollständigkeit beim Aufspannen$N\times N$Matrizen.

Im Allgemeinen verschütten Sie für andere Repräsentationen diesen Raum.
Und tatsächlich, wie Sie trivialerweise für SU(2)-Spin-1-3×3-Matrizen sehen können, überschreiten die Antikommutatoren den 4-d-Raum der Identität mit den 3 Generatoren.

In Ihrer Antwort haben Sie alle Antikommutatoren richtig in Projektionen auf die Identität, den Raum der Lie-Algebra und den orthogonalen Restraum der universellen Lie-Algebra M zerlegt . In der Praxis schafft es M jedoch glücklicherweise, aus allen signifikanten Größen herauszuprojektieren, wie die Spur von Trilinears, die Sie darstellen$d_{ABC}$, unten angepasst.

Dennoch haben diese Objekte bemerkenswert einfache Eigenschaften, wie Sie in Ihrer Antwort vermuten, obwohl nicht klar ist, dass Sie die Systematik geschätzt haben. Der Punkt ist, dass diese d -Koeffizienten, die durch die Spur der Trilinearität definiert sind, mit der Darstellung variieren (z. B. verschwinden sie für reelle Darstellungen wie die Adjungierte), aber sie sind alle proportional zu der$d_{ABC}$der fundamentalen Darstellung !

Das heißt, dass die$d_{ABC}$des Grundtons vererbt seine Tensorstruktur an alle anderen Wiederholungen, da sie aus dem Grundton aufgebaut sind (siehe unten). (Tatsächlich kommt sie in der Definition der kubischen Casimir-Invariante aller SU( N )s für N >2 vor. Sie verschwindet natürlich für SU(2).) Es gibt weitere Eigenschaften, die Sie in DB Lichtenbergs 1970 finden können Einheitliche Symmetrie und Elementarteilchen , Kapitel 6.2.

Für eine gegebene Darstellung R der Generatoren$T^A_R$, normalisieren, wie es in HEP ​​üblich ist,

$$\mathrm{Tr} (T^A_R T^B_R)= T(R) \delta^{AB},$$ wobei der Index der Darstellung T(R) , z. B. für die Grundwelle und die Adjungierte von SU(N) steht,$T(F)=1/2,~~ T(A)=N$.

Die Spur der Trilinearität ist

$$A(R) d_{ABC}=2\mathrm{Tr} (T^A_R S_R^{BC})=2\mathrm{Tr} (T^A_R \{T^B_R,T^C_R \} ),$$ wobei der Anomaliekoeffizient A(R) so normiert ist, dass natürlich A(F)=1 ist, da die d-Koeffizienten wie in der Aussage Ihrer Frage im Fundamentalen definiert sind.

Aus der Trilinearität des Arguments der Spur können Sie das sofort erkennen$A(R)=-A(\bar{R})$, und damit A = 0 für jede reelle Darstellung wie die Adjungierte (oder im Fall von SU(2) auch die Fundamentale, da sie pseudoreell ist!) Darüber hinaus können Sie dies aus den Eigenschaften der Spur ersehen

$$A(R_1\oplus R_2)= A(R_1)+A(R_2).$$ Der schöne Teil kommt mit dem Kronecker-Produkt, dem Koprodukt zweier Wiederholungen, $$A(R_1\otimes R_2)= A(R_1)d(R_2)+ d(R_1)A(R_2) , \tag{*}$$ was die nette Eigenschaft gewährleistet, die in der Spur der Trilinearität erwähnt wird. d(R) ist die Dimension der beteiligten Darstellung.

Genauer gesagt ist das Nebenprodukt (der Ringhomomorphismus)

$$T^A_{R_1\otimes R_2}=T^A_{R_1}\otimes 1\!\!1_{R_2}+1\!\!1_{R_2}\otimes T^A_{R_2},$$ was die Lie-Algebra erfüllt, in Ordnung; obwohl der Antikommutator im scharfen Gegensatz zum Kommutator zusätzliche Querstücke hat (es ist nicht primitiv, in Mathematik): $$S^{AB}_{R_1\otimes R_2}=S^{AB}_{R_1}\otimes 1\!\!1_{R_2} + 1\!\!1_{R_1} \otimes S^{AB}_{R_2} + 2(T^A_{R_1}\otimes T^B_{R_2}+ T^B_{R_1}\otimes T^A_{R_2} ).$$

Beachten Sie jedoch, dass diese lästigen Kreuzterme, wenn sie in die Spur eingefügt werden, einfach aufgrund der grundlegenden Eigenschaft der Spur herausprojiziert werden, dass die Spur eines Tensorprodukts das Produkt der Spuren der Tensorfaktoren ist. Infolgedessen werden die Kreuzterme, wenn sie mit dem Koprodukt des Generators multipliziert werden, auch immer Terme erzeugen, die irgendwo einen Tensorfaktor von nur einer Generatorleistung enthalten$R_1$oder$R_2$, und so wird durch die Spurlosigkeit einer einzigen Kraft des Generators hinaus projiziert! Dies stellt dann sicher, dass die Anomaliespur immer proportional zu ist$d_{ABC}$, wobei sich die Anomaliekoeffizienten durch die obige Beziehung (*) kombinieren. (Mathematiker nennen diese Projektion eine Folge des Satzes von Friedrich, aber egal.)

Alle Darstellungen können durch Tensorierung der Grundwelle erreicht werden, sodass ihre Anomaliekoeffizienten im Prinzip rekursiv berechnet werden können. (Und natürlich verschwinden einige – für die echten.)

Schließlich diktiert für die Zerlegung, die Sie formrichtig postulieren, die Konsistenz mit der obigen Spur (Verfolgen oder Multiplizieren mit einem T und Verfolgen) stattdessen,

$$S^{AB}_R= \frac{2T(R)}{d(R)}\delta^{AB} 1\!\!1_{d(R)} + \frac{A(R)}{2T(R)} d_{ABC}T^C_R +M^{AB}_R~.$$

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Wenn Sie die Verzahnung von Kommutatoren mit Antikommutatoren und den Übergang der d -Koeffizienten zu höheren Darstellungen untersuchen möchten, könnten Sie über die Jacobi-Identität hinaus

$$[[A,B],C]+ [[B,C],A]+[[C,A],B] =0,$$ eine Fülle seiner gemischten Analoga, $$[\{A,B\},C]+ [\{B,C\},A]+[\{C,A\},B] =0,\\ [\{A,B\},C]+ \{[C,B],A\}+\{[C,A],B\} =0,$$ usw.

Viele der grundlegenden Beziehungen werden durch Berücksichtigung von erhalten$K^A\equiv d_{ABC}T^BT^C=d_{ABC}S^{BC}$, die, obwohl nicht primitiv, dennoch einfach transformiert,$[K^A,T^B]=if_{ABC}K^C$. Es lässt sich wie oben zeigen, dass diese Relation für alle Darstellungen gilt, wobei aber das d in seiner Definition immer noch das des Fundamentalen ist. Also, nach oben,$\mathrm{Tr}(T_R^A K_R^B)=A(R)(N^2/4-1)~\delta^{AB}/N$, usw.

Für eine allgemeine Vertretung$t^{A}$der Generatoren von$SU(N)$es ist möglich, die folgende Form des Antikommutators abzuleiten

$$\{t^{A},t^{B}\} = \frac{2N}{d}\delta^{AB}\cdot 1_{d} + d_{ABC}t^{C} + M^{AB}$$ Wo $$\mathrm{Tr}[t^{A}t^{B}] = N\delta_{AB}\\ d_{ABC} = \frac{1}{N}\mathrm{Tr}[\{t^{A},t^{B}\}t^{C}]$$ und das Objekt $M^{AB}$erfüllt eine Reihe von Eigenschaften $$\mathrm{Tr}[M^{AB}] = 0,\quad M^{AA}=0,\quad \mathrm{Tr}[M^{AB}t^{C}] = 0,\quad M^{AB} = M^{BA}, \quad (M^{AB})^{\dagger} = M^{AB}$$ Die vorletzte Eigenschaft drückt die Orthogonalität von aus $M^{AB}$zu den Generatoren $t^{A}$zeigt, dass es nicht in der Algebra enthalten ist. Bei der fundamentalen Darstellung $M^{AB}=0$da die Freiheitsgrade erschöpft sind (oder alternativ: die Generatoren und die Identität überspannen den gesamten Raum der hermiteschen Matrizen).

Bei den adjungierten Darstellungen von$SU(2)$Und$SU(3)$Ich habe eine explizite Berechnung von durchgeführt$M^{AB}$, wobei die obigen Eigenschaften überprüft werden.

Ich bin mir nicht sicher, was Sie fragen. Für jede antisymmetrische d-dimensionale Matrix$T$Sie können den Trace-Teil extrahieren und haben daher

$$T=\frac{I}{d}\cdot tr{T}+(T-tr{T}).$$ Sie können überprüfen, dass der erste Term wirklich der Spurteil ist und der zweite Term spurlos ist. In Ihrer Gleichung ist es also einfach eine Definition von $d_{ABC}$. Beachten Sie, dass $tr{{T^{AB}}}=2C\delta^{AB}$in deiner Gleichung. Allgemeiner gesagt, für jede d-dimensionale Matrix T, die Sie haben können $$T=\frac{1}{2}({T+T^{T}})+\frac{I}{d}\cdot tr\left({\frac{1}{2}(T-T^T)}\right)+\left(\frac{1}{2}(T-T^T)-\frac{I}{d}\cdot tr\left({\frac{1}{2}(T-T^T)}\right)\right)$$ mit den symmetrischen, den spurlosen und den spurlosen antisymmetrischen Teilen entsprechend.