Warum hat SU(3)SU(3)SU(3) acht Generatoren?

Jede lineare Transformation, die an der Lie-Algebra einer Lie-Gruppe vorgenommen wird, ergibt eine gültige Lie-Algebra, wie Sie meiner Meinung nach verstehen (die Gell-Mann-Matrizen sind tatsächlich$i$mal die schiefsymmetrischen Mitglieder der Lie-Algebra) und Ihren Vorschlag$\lambda_3$ist eine Linearkombination der Gell-Mann-Matrizen. Die Basis bestehend aus$i$mal überspannt die Gell-Mann-Matrizen tatsächlich$\mathfrak{su}(3)$: Es gibt acht von ihnen, sie sind linear unabhängig und die Algebra von$3\times3$schiefsymmetrische Matrizen haben acht Parameter, also müssen sie gültig sein!

Alle gruppentheoretischen Studien könnten theoretisch mit jeder solchen Lie-Algebra durchgeführt werden. Sie könnten stattdessen Ihre vorgeschlagene Matrix verwenden$\lambda_8$und theoretisch wird die Lügentheorie perfekt funktionieren. Ihre Frage ist also eigentlich eine Frage zur Konvention : Warum wählen wir diese spezielle Basis?

Eine Bequemlichkeit, die die Gell-Mann-Matrizen bieten, die Ihr vorgeschlagenes Schema nicht bieten würde, besteht darin, dass die Gell-Mann-Matrizen orthogonal in Bezug auf die Killing-Form und auch orthogonal in Bezug auf das gewöhnliche Spurinnere Produkt sind (das liegt daran, dass$SU(3)$Es hat kein kontinuierliches Zentrum und seine Lie-Algebra bleibt gleich, wenn es durch die adjungierte Darstellung abgebildet wird, so dass das innere Produkt der Spur das gleiche ist wie die Killing-Form). In der Algebra kann es nur zwei Diagonalmatrizen geben, weil wir aus drei Diagonalelementen nur zwei nach Belieben auswählen können, wenn die betreffenden Matrizen spurlos sein müssen, also wenn$\lambda_3$in der Basis ist, kann Ihre vorgeschlagene Matrix nicht sein: Die zweite Diagonalmatrix muss orthogonal zu sein$\lambda_3$.