Symmetriebrechung von SO(10)SO(10)SO(10) oder Spin(10)Spin(10)Spin(10)

Die große Spin(10)-Vereinigung hat eine Symmetriebrechung von SO(10) oder Spin(10).

Bei Wikipedia heißt es ,

„Die Symmetriebrechung von SO(10) erfolgt normalerweise mit einer Kombination aus (( a 45 H Oder ein 54 H ) Und ein 16 H Und ein 16 ¯ H ) Oder ein 126 H Und ein 126 ¯ H )) )."

Ich nehme an, dass 16 etwas mit der 16-Spinor-Darstellung von SO (10) zu tun hat und 45 etwas damit zu tun hat ( 10 2 ) = 45 , während 126 etwas damit zu tun hat 1 2 ( 10 5 ) = 126 .

  • Wofür steht 54 in der Darstellungstheorie?

  • Was ist also so besonders an diesen Zahlen: 16,45,54 und 126 in diesen Modellen? Und ihre Rolle in der Repräsentationstheorie?

45 ist nur die Anzahl unabhängiger Einträge in einer Antisymmetrie 10 × 10 Matrix und es gibt nichts Besonderes an den Zahlen. Manche Leute benutzen gerne ein 126 ¯ -plet, weil es einem erlaubt, das zu brechen B − L Symmetrie zu Materieparität, andere mögen keine der großen Darstellungen, weil es schwierig bis unmöglich scheint, sie aus der Stringtheorie herauszuholen.
Tabelle 41 in Ihrem Slansky . die 45 ist (01000) in Dynkin-Indexnotation, die 54 die (20000) und die 16 und 126 Spinoren. Schreiben Sie die SO(10)-Invarianten davon und die SU(5)-Invarianz der SSB-Vakua auf. Sehen Sie sich nun die nächste Tabelle bei 16 x 16 bar und 126 x 126 bar an, um zu sehen, welche Higgs-Wiederholungen Sie benötigen, um mit den Fermion-Bilinears zu sättigen ... was sehen Sie?

Antworten (1)

Nennen wir die definierende Darstellung von S Ö ( 10 ) für v = 10 . Der Vektorraum v ist mit einer invarianten metrischen Form ausgestattet: v × v → R (mit positiver/euklidischer Signatur). Dann haben wir:

  1. Das antisymmetrische Tensorprodukt ⋀ 2 v ≡ v ∧ v = 45 .

  2. Das total antisymmetrische Tensorprodukt ⋀ 3 v = 120 .

  3. Das symmetrische Tensorprodukt S j M 2 v ≡ v ⊙ v = 1 ⊕ 54 . Die triviale Darstellung 1 kommt von der Kontraktion mit der Metrik. Der 54 kann als spurloser Teil betrachtet werden S j M 2 v .

  4. ⋀ 5 v = 126 + ⊕ 126 − , entsprechend selfdual und anti-selfdual 5-Formen. (Der Hodge-Star-Operator wird über die Metrik definiert.)

  5. 16 L / R sind die linken/rechten Weyl- Spinoren in 10D.

Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

Möglicherweise müssen Sie uns den Cup-Ausdruck erklären ... danke ...
Ist das ameisensymmetrisches Tensorkeilprodukt?
"Die triviale Darstellung 1 kommt von der Kontraktion mit der Metrik." welche Metrik?
Ich hoffe auch, das zu verstehen S j M 2 v = 1 ⊕ 54 und was ist die 54 besser?
Danke, können Sie erklären, dass "Das symmetrische Tensorprodukt Sym 2 v ?" Wie definierst du Sym 2 v ?
Ich akzeptiere Ihre Antwort zuerst, aber bitte klären Sie
Ich habe die Antwort aktualisiert.
Symmetriebrechung von SO(10)SO(10)SO(10) oder Spin(10)Spin(10)Spin(10)
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