Lügengruppen und Gruppenerweiterungen?

Da ich beim Lernen etwas mehr Vorstellung davon bekommen habe, „wo Sie sich befinden“, und eine beträchtliche Begeisterung dafür gezeigt habe, ein gründliches Verständnis der Grundlagen zu erlangen, möchte ich einige weitere Details hinzufügen (von einem Nicht-Teilchenphysiker, wohlgemerkt, so Es gibt viele Aspekte Ihrer Frage, die ich meiden muss) bis hin zu Lubos 'ausgezeichneter Antwort. Außerdem haben Sie in Ihrer Frage von Erweiterungsfeldern und Analogien mit Lie-Gruppen gesprochen, und das deutet für mich darauf hin, dass Sie über Analogien zwischen der Lie-Theorie und der Galois-Theorie nachdenken, also werde ich auch diese Idee ansprechen: Es gibt tatsächlich Ähnlichkeiten, und es war genau so Lies Wunsch nach einer "Galois"-Theorie kontinuierlicher Gruppen, die ihn zur Gründung der Lie-Theorie führten.

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Woran sich die Lügenklammer über die Gruppe erinnert: The Baker Campbell Hausdorff Theorem

Lassen Sie uns Lubos hervorragende intuitive Aussage abschließen: "Die Krümmung der Kugel (Lie-Gruppe) wird jedoch vollständig von der Kommutatoroperation auf der Lie-Algebra erinnert". Eine weitere Variation dieser denkwürdigen Aussage ist, dass die „Lie-Algebra fast alle Informationen über die Lie-Gruppe codiert“. Wenn Sie sich an diese erinnern, werden Sie nicht allzu viel falsch machen. Ich würde Lubos' "vollständig erinnert" etwas widersprechen, aber dies ist ein sehr knapper Fehlschlag, also sind hier einige letzte Teile des Puzzles; Sie können sehen, dass etwas anderes benötigt wird, da zwei verschiedene Lie-Gruppen genau dieselbe Lie-Algebra haben können, zum Beispiel das Paar$SU(2)$Und$SO(3)$sowie (ein anderes Beispiel) das Paar$U(1)$, das kompakt ist, und das nicht kompakte$(\mathbb{R},\,+)$(letzteres ist isomorph zu$(\mathbb{R}^+\sim\{0\},\,\times)$).

Die Aussage von Lubos (Lubos, korrigieren Sie mich, wenn dies keine gute Darstellung Ihrer Worte ist) ist im Baker Campbell Hausdorff Theorem kodiert . Das Exponential bildet Nachbarschaften des Ursprungs im Vektorraum der Lie-Algebra ab (nenn es$\mathfrak{g}$) eins zu eins auf Nachbarschaften der Identität in der Lie-Gruppe$\mathfrak{G}$: Der lokal wohldefinierte Logarithmus macht das Gegenteil. Dann kann gezeigt werden, dass es eine Nachbarschaft gibt$\mathbf{N}\subset\mathfrak{g}$(Es muss "klein genug" sein, wie durch eine geeignete Metrik in definiert$\mathfrak{g}$) so dass für$X,\,Y\in\mathbf{N}\subset\mathfrak{g}$(und so$e^A,\,e^B\in \mathfrak{G}$) da ist ein$Z\in\mathfrak{g}$so dass$e^X\,e^Y = e^Z\in \mathfrak{G}$Und:

$Z = X + Y + \frac{1}{2} [X,\,Y] + \frac{1}{12}[X,\,[X,\,Y]] - \frac{1}{12}[X,\,[Y,\,X]] + ...$

wobei ALLE Terme nur die Lie-Klammer (Kommutator) betreffen. Die genauen Koeffizienten in dieser Formel sind extrem kompliziert aufzuschreiben (es gibt eine gefürchtete Formel von Dynkin, siehe [Rossmann] in Kapitel 1 (Referenzen gebe ich am Ende)), aber ihre genauen Werte sind dafür nicht wichtig Diskussion. Wichtig ist, dass die BCH-Formel nur Lie-Klammern, Summen und Skalarmultiplikationen enthält, sodass Teilsummen außerhalb der Lie-Algebra nichts ergeben; außerdem konvergiert es in einer angemessen kleinen Umgebung des Nullvektors, also muss es zu einem Mitglied der Lie-Algebra konvergieren (Lie-Algebren, die, wie Sie wissen, auch Vektorräume sind, sind geschlossen, daher liegt der Grenzwert in der Lie-Algebra). Die BCH-Formel "zieht also die Gruppenmultiplikation durch die Exponentialfunktion zurück"

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Woran sich die Lügenklammer über die Gruppe nicht „erinnert“: Globale Topologie und die Fundamentalgruppe

Aber es gibt immer noch einen kleinen "Spielraum" (Mehrdeutigkeit: Es gibt mehr als eine Möglichkeit, das Exponential konsistent zu definieren) in der Definition des Nichtlinearen$\exp$Zuordnung der Algebra zur Gruppe - äquivalent - Mehrdeutigkeit in der Definition der Gruppenmultiplikation. Um dies zu verstehen, sehen Sie sich die zwei verschiedenen Rodrigues-Formeln an, die dieselbe Lie-Algebra abbilden$su(2) \cong so(3)$zum topologisch Anderen$SU(2)$Und$SO(3)$:

$$\begin{array}{rll} su(2)\mapsto SU(2):& H_{2\times 2}\mapsto\exp\left(H_{2\times 2}\right)=\cos\left(||H_{2\times 2}||\right)\;I_{2\times 2} +\frac{\sin\left(||H_{2\times 2}||\right)}{||H_{2\times 2}||}\, H_{2\times 2}\\ so(3)\mapsto SO(3):& H_{3\times 3}\mapsto\exp\left(H_{3\times 3}\right)=I_{3\times3}+\frac{\sin\left(||H_{3\times 3}||\right)}{||H_{3\times 3}||}\,H_{3\times 3} +\frac{1-\cos\left(||H_{3\times 3}||\right)}{||H_{3\times 3}||^2}\,H_{3\times 3}^2\\ \end{array}$$

Wo:

$$H_{2\times2} = \left(\begin{array}{cc}i\,z&i\,x+y\\i\,x- y&-i\,z\end{array}\right)\quad\quad H_{3\times3} = \left(\begin{array}{ccc}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{array}\right)$$

Und$||H_{2\times2}||=||H_{3\times3}||=\sqrt{x^2+y^2+y^2}$. (In$SO(3)$die BCH-Formel hat einen "geschlossenen Form"-Ausdruck, siehe [Engø], und einen ähnlichen geschlossenen Form-Ausdruck für$SU(2)$gefolgt von den gleichen "Tricks"). Es wird jeweils die gleiche exponentielle Taylor-Reihe verwendet, nur dass sich die Nichtlinearität aufgrund der Arbeit des Cayley-Hamilton-Theorems mit unterschiedlichen charakteristischen Gleichungen, die erfüllt werden, jeweils unterschiedlich äußert$H_{2\times2}$Und$H_{3\times3}$.

Die letzte Zutat in all dem, wie 1925 von Otto Schreier entdeckt, ist die globale Topologie der Lie-Gruppe (siehe [Stillwell] Kapitel 8) und diese Informationen sind in einer Gruppe verschlüsselt:

• Grundgruppe , die die diskrete Gruppe aller Homotopieklassen ist, die durch Schleifen definiert sind, die durch die Identität der Gruppe verlaufen. Genau genommen muss man an jedem Punkt innerhalb der Gruppe unterschiedliche Fundamentalgruppen angeben, aber in einer zusammenhängenden Lie-Gruppe (oder irgendeiner anderen zusammenhängenden Mannigfaltigkeit) sind sie alle isomorph. Wir haben also das Ergebnis, das Lubos' denkwürdige Aussage im verbundenen Fall vervollständigt:

Eine zusammenhängende Lie-Gruppe wird vollständig durch die Lie-Algebra (das „Gedächtnis“ der Kommutatoren) zusammen mit „der“ Fundamentalgruppe spezifiziert

• Diskrete Gruppen von sich nicht überschneidenden getrennten Nebenklassen werden zusätzlich zum Obigen benötigt, um eine Lie-Gruppe mit unterschiedlichen nichttrivialen verbundenen Komponenten vollständig zu spezifizieren: zum Beispiel die Identitäts-verbundene Komponente$SO^+(1,3)$der Lorentz-Gruppe (die "richtigen, othochronen" Transformationen, die die Orientierung des Raums und die Zeitrichtung beibehalten) ist die normale Untergruppe der gesamten Lorentz-Gruppe$O(1,3)$und die diskrete Gruppe von Nebenklassen$O(1,3)/SO^+(1,3)$ist die Klein-Vier-Gruppe$V_4$(bestehend aus$I, P, T$Und$P\cdot T$Wo$P$ist die Rauminversionsmatrix$\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)$Und$T$die Zeitumkehrmatrix$\operatorname{diag}(-1,1,1,1)$).

Um diese globale Topologie für unsere zu veranschaulichen$SO(3)$,$SU(2)$Beispiel:$SO(3)$ist nicht einfach verbunden, wie Sie hoffentlich verstehen können, wenn Sie sich meine grobe Zeichnung unten ansehen:

Hier müssen Sie sich alle Rotationsoperatoren vorstellen$SO(3)$als Punkte in einem verdichteten euklidischen Raum: Dies könnte man sich als eine verdichtete Version der Lie-Algebra vorstellen, aber verfangen Sie sich nicht zu sehr in der Beziehung zur Algebra: Die Zeichnung zeigt eine Kugel mit Radius$\pi$aber es ist eine spezielle Sphäre, in der antipodische Punktpaare auf ihrer Oberfläche "identifiziert" werden - gedacht als derselbe Punkt. Um eine Drehung des Winkels zu zeichnen$\theta$um eine durch den Einheitsvektor definierte Achse$(\gamma_x,\,\gamma_y,\,\gamma_z)$, beschränken wir zunächst die Winkel auf das Intervall$(-\pi, \pi]$also bekommen wir$\theta\mapsto\theta^\prime = \theta + 2\,k\,\pi\in(-\pi, \pi]$durch Abschneiden unwichtiger Stücke ganzer Zahlen$k$Vielfache von$2\pi$, dann zeichnen wir einen Längenvektor$\theta^\prime$mit seinem Schwanz am Ursprung (die Identität der Gruppe) und in Richtung von$(\gamma_x,\,\gamma_y,\,\gamma_z)$: Der Punkt am Kopf des Vektors repräsentiert eindeutig jedes Element darin$SO(3)$. Jetzt denken wir über die fundamentale Gruppe von nach$SO(3)$; es gibt die Homotopieklasse von Pfaden wie$\Gamma$die kontinuierlich auf einen Punkt geschrumpft werden kann und dergleichen$\Omega$was nicht kann. Stellen Sie sich vor, Sie fahren auf dem$C^1$Weg$\Omega$durch die Lie-Gruppe: wenn wir den Punkt erreichen$P$und ein kleines bisschen weiter gehen, befinden wir uns auf der "Gegenseite" der Kugel, gleich hinter dem Punkt$P^\prime$diametral gegenüber$P$. Wir gehen diesen Weg weiter$\Omega$bis wir zur Identität zurückkehren. Es sollte klar sein, dass eine Schleife wie$\Omega$kann nicht kontinuierlich auf einen Punkt an der Identität zurückgeschrumpft werden: Da der Pfad aus einem Antipodenpunkt (eigentlich dem gleichen Punkt in unserer Definition) hervorgeht, sobald er die Oberfläche der Kugel überquert, müssen wir "den Pfad jedoch zurückziehen$P$", damit wir zum Ursprung zurückkehren können, aber wir können dies nicht tun, da der Pfad darüber hinaus verbunden ist$P^\prime$zur Identität, also der Homotopieklasse von$\Omega$ist ein Element der Fundamentalgruppe$\pi_1(SO(3))$von$SO(3)$unterscheidet sich von der Identität und so$\pi_1(SO(3))$ist nicht trivial. Es sollte jedoch ziemlich offensichtlich sein, eine Homotopie dazwischen zu sehen$\Omega$und seine inverse Schleife ( dh $\Omega$im umgekehrten Sinn laufen): diesen Weg einfach durchdrehen$180^o$in meiner Zeichnung oben über den Ursprung ( also die Identität$I$). Diese Schleife ist also nicht so, als würde man eine Schleife durch einen Torus wickeln: Wir können uns kontinuierlich verformen$\Omega$in seine Umkehrung, während es keine Möglichkeit gibt, die Pfeile auf einer Schleife mit darauf gezeichneten Pfeilen, die durch einen Torus gefädelt sind, in die andere Richtung zeigen zu lassen, ohne zuerst die Schleife zu brechen. So ist unsere grundlegende Gruppenpräsentation$\pi_1(SO(3))=\left<\Omega\,|\, \Omega^2=1\right>\cong\mathbb{Z}_2$.

Wir können die universelle Deckung (siehe die Wiki-Seite zu Deckungsgruppen) bilden$SO(3)$um eine einfach verbundene Gruppe zu finden (dafür gibt es eine Standardkonstruktion, die auf der Wiki-Seite beschrieben ist), und in diesem Fall erhalten wir die einfach verbundene Gruppe$SU(2)$als universelle Bedeckungsgruppe. Wenn$\mathfrak{G}$ist eine zusammenhängende Lie-Gruppe mit universeller Abdeckung$\tilde{\mathfrak{G}}$, dann die Fundamentalgruppe$\pi_1(\mathfrak{G})$ist durch die Quotientengruppe gegeben$\pi_1(\mathfrak{G})\cong \tilde{\mathfrak{G}}/\mathfrak{G}$: in diesem Fall ist die Quotientengruppe$\mathbb{Z}_2$, die die Homotopieklasse von Schleifen wie umfasst$\Gamma$in der Zeichnung oben (die Identität von$\pi_1(SO(3))$) und die Klasse von Schleifen wie$\Omega$. Eine andere Möglichkeit, dies zu visualisieren, ist der sehr nette "Gürteltrick des Topologen" (manchmal Diracs Gürteltrick genannt) , aber ich hämmere ein bisschen, also schauen Sie sich das besser an - es macht sehr viel Spaß, es kleinen Kindern vorzuführen ungefähr im Alter von sieben Jahren oder älter, wie ich festgestellt habe, ruft es in ihnen ein starkes Gefühl des Staunens hervor. Beide$\omega\in SU(2)$Und$-\omega\in SU(2)$eine Nebenklasse bilden$SU(2)$das demselben Element von zugeordnet ist$SO(3)$durch den Standardhomomorphismus, aus dem Rotationsmatrizen gewonnen werden$SU(2)$Elemente. Die Fundamentalgruppe für eine Lie-Gruppe (tatsächlich jede topologische Gruppe) ist immer abelsch, so dass eine Lie-Gruppe eine sehr spezielle, eingeschränkte Art von Mannigfaltigkeit ist (Mannigfaltigkeiten können im Allgemeinen jede endlich erzeugte freie Gruppe als ihre Fundamentalgruppen haben). Die universelle Abdeckung hat eine diskrete Mitte$\mathcal{Z}(\tilde{\mathfrak{G}})$(= Untergruppe von Elementen, die mit allen Elementen von vertauschen$\tilde{\mathfrak{G}}$) und die Menge aller verschiedenen möglichen Lie-Gruppen mit derselben Lie-Algebra$\mathfrak{g} = \operatorname{Lie}(\mathfrak{G}) = \operatorname{Lie}(\tilde{\mathfrak{G}})$ist in Eins-zu-Eins, auf Korrespondenz mit den Untergruppen des Zentrums$\mathcal{Z}(\tilde{\mathfrak{G}})$der universellen Deckgruppe: wir zählen die triviale Gruppe und das Ganze von$\mathcal{Z}(\tilde{\mathfrak{G}})$hier und die zugehörige Darstellung ( siehe die Wiki-Seite mit diesem Namen ) von$\mathfrak{G}$entspricht der trivialen Untergruppe von$\mathcal{Z}(\tilde{\mathfrak{G}})$und ist weitestgehend davon entfernt, einfach verbunden zu sein, und die universelle Abdeckungsgruppe entspricht dem Ganzen$\mathcal{Z}(\tilde{\mathfrak{G}})$. Diese Möglichkeiten schöpfen alle möglichen Lie-Gruppen mit derselben Lie-Algebra aus.$SO(3)$ist die adjungierte Darstellung wobei$SU(2)$wirkt auf seine Lie-Algebra$su(2)$Und$SO(3)$ist seine eigene adjungierte Darstellung. Die adjungierte Repräsentation vernichtet das Zentrum der Gruppe, das der Kern der Repräsentation ist. Aus diesem Grund codiert die BCH-Formel nicht alle Informationen über die Gruppe, während sie einen kontinuierlichen Teil des Zentrums "sehen" kann$\mathcal{Z}(\tilde{\mathfrak{G}})$durch die euklidische Summe$X + Y$In der BCH-Formel können die Terme höherer Ordnung das diskrete Zentrum nicht sehen.

Sie sollten jetzt in der Lage sein, an ein anderes Beispiel zu denken$\mathfrak{G}=U(1)$Und$\tilde{\mathfrak{G}}=(\mathbb{R},\,+)$In diesem Sinne: Beide haben die gleiche Lie-Algebra$\mathfrak{g}=(\mathbb{R},\,+)$Und$\tilde{\mathfrak{G}}=(\mathbb{R},\,+)$ist die universelle Bedeckungsgruppe von$\mathfrak{G}=U(1)$. Die grundlegende Gruppe ist natürlich$\mathbb{Z} = \cdots ,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,\cdots$, wobei die Ganzzahl$n$entspricht einer Schleife um den Kreis$U(1) = \{e^{i\,\theta}:\;\theta\in\mathbb{R}\}$umfassend$n$Buchten gegen den Uhrzeigersinn.

Um Ihrer Intuition weiter zu helfen: Lügengruppen sind "fast immer" Matrixgruppen wie folgt. Es gibt eine logische Folge eines schwierigen Satzes, bekannt als Satz von Ado, dass jede Lie-Algebra als Lie-Algebra quadratischer Matrizen realisiert werden kann. Das Gleiche gilt nicht für Lie-Gruppen: Nicht jede Lie-Gruppe kann als Gruppe von Matrizen dargestellt werden, aber es ist fast wahr (eine Konsequenz des Peter-Weyl-Theorems ist, dass jede kompakte Gruppe als Gruppe quadratischer Matrizen realisiert werden kann). . Da wir für jede Lie-Algebra eine quadratische Matrixrealisierung finden können, können wir natürlich eine Matrix-Lie-Gruppe mit dieser Algebra als Lie-Algebra durch die Matrix-Exponentialfunktion aufbauen; dann finden wir die universelle Abdeckung dieser Matrixgruppe und hier sind wir manchmalkann keine Matrixgruppe erhalten. Dies ist nicht typisch, und die ersten Lie-Gruppen, die nicht auch Matrixgruppen waren (sogenannte metaplektische Gruppen), wurden erst 1937 gefunden. Diese Sonderlinge decken alle Gruppen von nicht kompakten Gruppen ab.

Man sollte in Klammern anmerken, dass die Lie-Algebra$\operatorname{Lie}(U(1)\times SU(2)\times SU(3))$des Direktprodukts$U(1)\times SU(2)\times SU(3)$ist die direkte Summe der jeweiligen Lie-Algebren, also ist dies ein Ergebnis in etwa das, an das Sie vielleicht gedacht haben, als Sie Ihre Frage gestellt haben: in Symbolen:

$$\begin{array}{lcl}\operatorname{Lie}(U(1)\times SU(2)\times SU(3)) &=& \operatorname{Lie}(U(1))\oplus \operatorname{Lie}(SU(2)) \oplus \operatorname{Lie}(SU(3))\\ &=& u(1) \oplus su(2)\oplus su(3)\end{array}$$

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Lie-Gruppen und Galois-Theorie

Lie stellte sich tatsächlich eine Galois-Theorie für kontinuierliche Gruppen vor, und es gibt Analogien, aber die Lie-Theorie ist komplizierter. Lineare Lie-Algebren vereinfachen die Untersuchung einiger Eigenschaften der nichtlinearen Lie-Gruppe, und es besteht eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen den Lie-Untergruppen einer Lie-Gruppe$\mathfrak{G}$und Lie-Subalgebren seiner Lie-Algebra$\mathfrak{g} = \operatorname{Lie}(\mathfrak{G})$: Dies ist die sogenannte "Lie-Korrespondenz", die in Kapitel 2 von [Rossmann] detailliert beschrieben wird (die Korrespondenz wird in Abschnitt 2.5 diskutiert), ebenso wie die normalen Untergruppen der Galois-Gruppe einer Felderweiterung eins zu eins mit allen enthaltenen Erweiterungsfeldern korrespondieren innerhalb der jeweiligen Erweiterung, und wir können daher Erweiterungskörper untersuchen, indem wir die Galois-Gruppe von Automorphismen auf ihnen untersuchen. In der anderen Richtung wirkt die Lie-Gruppe auf ihre eigene Lie-Algebra durch ihre eigene adjungierte Darstellung, auf die oben Bezug genommen wurde, genauso wie die Galois-Gruppe von Automorphismen auf die Erweiterungsfelder wirkt, zu deren Untersuchung sie verwendet werden.

Referenzen und weitere Informationen erhalten

Es gibt drei ausgezeichnete Referenzen, die ich empfehlen würde:

Wulf Rossmann, „Lügengruppen, eine Einführung durch lineare Gruppen“

John Stillwell, „Theorie der naiven Lüge“

Brian Hall, "Lie-Gruppen, Lie-Algebren und Darstellungen: Eine elementare Einführung"

Lesen Sie die ersten beiden Kapitel von Rossmann und Stillwell ganz gründlich, um die Grundlagen zu erhalten, und das Hall-Buch führt die Grundlagen ein wenig vor, um zur Darstellungstheorie zu gelangen, die für Physiker am nützlichsten ist. Stillwell behandelt keine Repräsentationstheorie - es ist hauptsächlich für das Grundstudium gedacht, aber sehr lesenswert. Stillwells Beschreibung ist meiner Meinung nach die beste Beschreibung der hier diskutierten globalen Topologie-Ideen.

Wieder ein bemerkenswertes kleines Buch

J Frank Adams "Vorlesungen über Lügengruppen"

zeigt, wie weit man beim Studium der hochgradig nichtlinearen Lie-Gruppe kommen kann, ohne die Lie-Algebra zu verwenden. Es hat mich auf jeden Fall überrascht.

Es gibt auch das von mir zitierte Papier:

K. Engø, "On the BCH-Formula in SO(3)" , BIT Numerical Mathematics 41 (2001), no.3, pp629--632.

Wie wir gesehen haben, ist die Fundamentalgruppe der Lie-Gruppe immer abelsch (wie es in der Tat die Fundamentalgruppe jeder topologischen Gruppe ist), und das ist der Grund, warum ich den modernen Ansatz, der die Lie-Gruppe als Mannigfaltigkeit mit Gruppe einführt, nicht besonders mag Struktur: Eine Mannigfaltigkeit ist ein viel zu breites und allgemeines Ding, und Sie brauchen nicht so etwas wie die gesamte Differentialgeometrie, um eine Lie-Gruppe gut zu verstehen. Obwohl es gut ist, zu abstrahieren und zu verallgemeinern, könnte man sagen, dass dieser Ansatz darin besteht, die Bäume des Waldes aus zu großer Entfernung für einen guten ersten Blick zu betrachten. Spivaks „Umfassende Einführung in die Differentialgeometrie“lehrt Lie-Gruppen wie diese, während ich intellektuell den anderen Weg gegangen bin, indem ich die Referenzen [Rossmann], [Stillwell] und [Hall] verwendet habe, und dann habe ich die Intuition über Lie-Gruppen genutzt, um mir zu helfen, die Differentialgeometrie von allgemeineren Riemannschen Mannigfaltigkeiten zu verstehen: Eins beginnt mit einer einfachen Reihe von Axiomen über die Nachbarschaft der Identität in der Lie-Gruppe und$C^1$Pfade darin und definiert dann die ganze verbundene Komponente als die kleinste Gruppe, die diese Nachbarschaft enthält: auf diese Weise „baut sich die analytische Mannigfaltigkeit der Lie-Gruppe selbst auf“, und tatsächlich zeigt die Lösung von Montgomery, Gleason und Zippin zu Hilberts fünftem Problem, dass nicht einmal Differenzierbarkeit angenommen werden muss , denn es ergibt sich auf natürliche Weise nur aus den Annahmen über die Kontinuität einer Lie-Gruppe. Die Lie-Gruppen-Idee entsteht aus noch primitiveren Annahmen bei kompakten halbeinfachen Lie-Gruppen: denn für eine solche Lie-Gruppe ist keine andere abstrakte Gruppenstruktur möglich, so dass sogar die Topologie allein aus der algebraischen Struktur und jeder Gruppenautomorphismus als Abstraktion hervorgeht Gruppe behält auch die Lie-Gruppenstruktur bei (van der Waerden, BL, Mathematische ZeitschriftS. 780 - 786). Lie-Gruppen sind in der Tat sehr speziell, und die moderne Idee einer Mannigfaltigkeit enthält zu viel Maschinerie, um sie klar zu sehen. Intuitiv rührt diese höchst spezielle Natur von der Homogenität her – der Tatsache, dass die Gruppenaktion die Rund-Identitäts-Nachbarschafts-Struktur in der ganzen Mannigfaltigkeit klont und es einfach nicht so viele Axiomensysteme und Verhaltensweisen gibt, die solch einem umfassenden „Klonen“ standhalten können und immer noch konsequent sein.

Nein, die Gruppe$U(1)\times SU(2)\times SU(3)$ist kein Vektorraum irgendeiner Art, da er keine (kommutierende) Additionsoperation hat (gekrümmte Gruppenmannigfaltigkeiten können selten eine solche Struktur haben).

Der von Ihnen verlinkte Artikel "Gruppenerweiterung" macht sehr deutlich, dass die Gruppenerweiterung kein Vektorraum sein muss und die Gruppenoperation nicht abelsch sein muss.

Felderweiterungen sind kommutativ (und Vektorräume), weil ein Feld selbst ein kommutativer Ring ist. Aber die Gruppe des Standardmodells basiert auf keinem Feld in diesem mathematischen Sinne und die Gruppe ist nicht-Abelsch, dh nicht pendelnd – das bezeichnen Physiker als „Gruppen in der Yang-Mills-Theorie“.

Nein, es ist nicht wahr, dass einzelne Teilchen Vektorräume „sind“. QFT hat wie jede Quantentheorie einen wichtigen komplexen Vektorraum, den Hilbert-Raum. Keine anderen Räume, die im Formalismus der QFT vorkommen, sind im Allgemeinen Vektorräume. Dies beantwortet auch Ihre letzte Frage, indem es ihre Annahmen negiert.

Nur um sicherzugehen, kann man "zuerst quantisierte" Theorien oder Ein-Teilchen-Sektoren von QFTs in Betracht ziehen. Sie haben ihren eigenen Hilbert-Raum, den man als Vektorraum für "ein Teilchen" interpretieren könnte. Aber du hättest auch etwas ganz anderes meinen können; Es war nicht klar, welche Rolle Ihr hypothetischer Vektorraum, der mit einem Teilchen verbunden ist, spielen sollte.