Warum hat die Lorentz-Gruppe komplexe Generatoren in QFT-Behandlungen? [Duplikat]

In den QFT-Büchern von Schwartz und Peskin studieren die Autoren beim Versuch, sich mit Darstellungen der Lorentz-Gruppe zu befassen, die Darstellungen der Lie-Algebra einer solchen Gruppe.

Per Definition, wenn S Ö ( 1 , 3 ) ist die Lorentz-Gruppe, die Lie-Algebra ist S Ö ( 1 , 3 ) definiert als die Menge aller linksinvarianten Vektorfelder an S Ö ( 1 , 3 ) was wiederum dem Tangentenraum an der Identität von entspricht S Ö ( 1 , 3 ) .

Jetzt, S Ö ( 1 , 3 ) ist eine echte Mannigfaltigkeit. Daher ist sein Tangentialraum am Ursprung ein reeller Vektorraum.

Wie auch immer, die Bücher sagen, dass es Elemente in dieser Lie-Algebra gibt, die Generatoren genannt werden und durch einige komplexe Matrizen definiert sind J ich Und K ich so dass jedes Gruppenelement ist

Λ = exp ⁡ ( ich θ ich J ich + ich β ich K ich )

und so das

[ J ich , J J ] = ich ϵ ich J k J k

[ K ich , K J ] = − ich ϵ ich J k J k

[ J ich , K J ] = ich ϵ ich J k K k

Jetzt stimmt hier etwas nicht. Es gibt zwei Hauptpunkte, die mir aufgefallen sind:

  1. Wie können die Elemente von S Ö ( 1 , 3 ) komplexe Matrizen sein, wenn dies ein reeller Vektorraum ist? Die Matrizen müssen auf jeden Fall real sein. Es sei denn, man hat irgendwo eine Komplexierung versteckt, aber das wird in den Büchern nicht deutlich gemacht. Wenn das der Fall ist, wo und warum verwendet man eine Komplexierung?

  2. Es ist nicht wahr, dass alle Elemente der Gruppe durch Potenzierung wiedergewonnen werden können, wenn ich mich nicht irre. Daran kann ich mich wirklich nicht gut erinnern, aber zu behaupten, dass alle Elemente diese Form haben, scheint falsch zu sein. Außerdem ist die Potenzierung, die ich kenne, die Karte exp : S Ö ( 1 , 3 ) → S Ö ( 1 , 3 ) definiert von

    exp ⁡ ( A ) = ϕ 1 X A ( e ) ,

    Wo X A ist das zugehörige linksinvariante Vektorfeld, ϕ T X A ist sein Fluss und e ∈ S Ö ( 1 , 3 ) ist die Identität. Wenn ich mich nicht irre, ist diese Exponentialkarte nicht surjektiv. Wie kann der Autor sagen, dass jedes Gruppenelement diese Form hat?

Zusammenfassend wie lässt sich der vom Autor vorgestellte physikalische Ansatz mit der üblichen Lie-Gruppen-/Lie-Algebra-Theorie verbinden?

Zu deiner ersten Frage. Sind Sie sicher, dass Sie nicht über die sprechen S L ( 2 , C ) Vertretung der Lorentz-Gruppe? Was Ihre zweite Frage betrifft, bildet die Exponentialfunktion die Lie-Algebra auf die verbundene Komponente der Identität ab. Wahr für jede Lie-Gruppe.
@LucJ.Bourhis Nun, die Autoren sagen, das ist dafür S Ö ( 1 , 3 ) und das ist der Grund für meine Verwirrung, da die Lie-Algebra reell sein sollte. Ich glaube, es wird eine Verkomplizierung vorgenommen, über die die Autoren nicht sprechen. Ich bin mir nur nicht sicher, warum und wie dies für das vorliegende Problem verwendet wird.
ok, wollte nur sicher gehen. Siehe dann die Referenzen von AccidentalFourierTransform als Ausgangspunkt.
Beachten Sie, dass die Exponentialkarte selbst für zusammenhängende Lie-Gruppen nicht immer surjektiv ist (sie gilt für kompakt zusammenhängende). Das "onto" in Lucs erster Antwort könnte einigen Leuten die falsche Vorstellung von Surjektivität geben (dies ist ein weit verbreitetes Missverständnis unter Physikern, da sich herausstellt, dass die Exponentialkarte für die meisten, wenn nicht sogar alle nicht kompakten Gruppen, die in der Physik verwendet werden, surjektiv ist).

Antworten (1)

Eine Teilantwort auf (2): Die genauere Aussage ist, dass jedes Gruppenelement, das kontinuierlich mit der Identität verbunden ist, auf diese Weise geschrieben werden kann. Ich bin mir ziemlich sicher, dass wir "kontinuierlich verbunden" so definieren, dass die vorherige Aussage eine Tautologie ist, aber hey, das ist Physik!

Es gibt wichtige Gruppenelemente wie P (Parität) und T (Zeitumkehr), die nicht als Potenzierung von Generatoren geschrieben werden können und später in der QFT eine große Rolle spielen werden.

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