Reduzierbarkeit von Tensorprodukten von Lorentzgruppendarstellungen

SU(2)-Darstellungen

Für Darstellungen von$SU(2)$, wir wissen:

$$(2m+1) \otimes(2n+1) = (2(m+n)+1)\oplus (2(m+n-1)+1)\oplus...\oplus(2(m-n)+1)$$ Das bekommen wir einfach aus der Drehimpulsaddition. Zum Beispiel: $$2\otimes2 = 1 \oplus 3$$ Wobei die Zahlen die Dimension (Zielraum von) der Darstellung (oder der Komponenten der Darstellung) bezeichnen.

Dies sagt den Raum aus, der unter dem unveränderlich ist$2 \otimes 2$Vertretung, nennen wir ist$S_2$(der Zielraum dieser Darstellung) ist isomorph zur direkten Summe von 2 anderen Räumen$S_1 \oplus S_3$, so dass$S_1$ist unveränderlich unter der$1$Vertretung und$S_3$ist unveränderlich unter$3$. In einer expliziten Ableitung für die Drehimpulsaddition im Hilbert-Raum gilt:$1$würde dem 1-dimensionalen Unterraum der Spin-0-Zustände entsprechen,$3$entspricht dem 3-dimensionalen Unterraum der Spin-1-Zustände. Die 1-Spin-0- und 3-Spin-1-Spin-Eigenzustände spannen den Raum auf, daher gilt tatsächlich die obige direkte Summenzerlegung.

Darstellungen der Lorentzgruppe

Die Lügenalgebra der Lorentzgruppe wird von einigen Operatoren generiert$L_i$, ist eine nützliche Zerlegung$L_i= N_i + N_i^{\dagger}$, Wo$N_i$,$N_i^{\dagger}$sind Elemente in einem$SU(2)$Darstellung. Seit$N_i$Und$N_i^{\dagger}$pendeln, können wir den Eigenraum von erhalten$L_i$durch Drehimpulsaddition. Daher können wir die Räume anzeigen, die von den Eigenwerten jedes der überspannt werden$N_k$Und$N_k^{\dagger}$(bei willkürlicher Wahl von k) als Hilbertraum$L_i$ein Operator im Tensorprodukt dieser Hilbert-Räume ist. Nämlich,$L_i$wirken die Linearkombinationen der Tensorproduktzustände$|... \rangle | ...\rangle$. Das bedeutet, dass wir die Darstellung sehen können$L_i$als Tensorprodukt der 2$SU(2)$Darstellungen$N_i$Und$N_i^{\dagger}$. Daher die genaue Bedeutung der Notation$(1,2)$Ist:

$$(a,b) \equiv a \otimes b$$

Von hier aus können wir das obige Ergebnis für Tensorprodukte von verwenden$SU(2)$Darstellungen. Zum Beispiel:

$$(2,1)\otimes(2,1) = (2 \otimes 1)\otimes (2 \otimes 1) = (2 \otimes (1\otimes 2) \otimes 1) = (2 \otimes 2 \otimes 1) \\=((1 \oplus 3)\otimes 1)= (1 \otimes 1) \oplus (3 \otimes 1) = (1,1) \oplus (3,1)$$

Wo wir die verschiedenen Eigenschaften des Tensors und der direkten Produkte (Assoziativität, Distributivität) verwendet haben. In der dritten Gleichung haben wir das Tensorprodukt mit der Formel ganz oben reduziert. Wiederholen des Vorgangs für:

$$(2,1)\otimes(1,2)\otimes(2,2)$$

Wir sehen klar$(1,1)$ist einer der Terme in der direkten Summenzerlegung.