Lorentz-Transformation des Vakuumzustands

Wie in den Kommentaren erwähnt wurde, wird angenommen, dass die QFT einen Vakuumzustand hat, der vernichtet wird$P^\mu$. Dies ist tatsächlich ein sehr wichtiger Punkt, da es einer der entscheidenden Unterschiede zwischen der QFT im flachen Raum und der QFT in der gekrümmten Raumzeit ist. Dies wird in Walds Buch QFT in Curved spacetime erklärt. Im Wesentlichen wird in Quantentheorien die "kinematische Struktur" durch die kanonischen Vertauschungsbeziehungen zwischen dem kanonischen Ort und Impulsen (Feldern und konjugierten Impulsen in der QFT) festgelegt. In der nichtrelativistischen QM gibt es eine endliche Anzahl von Freiheitsgraden, und daher sagt Ihnen das Stone-von-Neumann-Theorem, dass es einen eindeutigen Hilbert-Raum und eine Auswahl von Operatoren auf dem Hilbert-Raum gibt. Der Satz gilt nicht für unendlich viele dof (QFT), und es gibt tatsächlich unendlich viele inäquivalente Möglichkeiten für den Hilbert-Raum für Quantenfelder. In der flachen Raumzeit gilt die Forderung, dass es einen solchen Zustand gibt$P^{\mu}|0\rangle=0$wählt einen einzigartigen Hilbert-Raum aus. In gekrümmten Raumzeiten, die im Allgemeinen keine Tötungsvektoren haben, ist es unklar, wie man einen eindeutigen Hilbert-Raum ausfindig macht, und dies ist eine große Schwierigkeit bei der QFT im gekrümmten Raum.

Die Antwort ist also, dass es angenommen wird$P^\mu|\Omega \rangle =0$und das ist eine sehr wichtige Annahme.

Obwohl das von Ihnen erwähnte Subtraktionsverfahren in vielen Lehrbüchern verwendet wird, halte ich es nicht für wirklich die richtige Lösung. Das Argument ist normalerweise, dass der Subtraktionsterm nicht beobachtbar ist, da er nur eine Phase zur s-Matrix beiträgt und wir nur Energieunterschiede messen, aber das gilt wirklich nicht, wenn Schwerkraft oder Supersymmetrie im Bild sind. Tatsächlich ist es, wie Sie bemerken, nicht klar, dass die Poincare-Algebra unter einer solchen Subtraktion schließt.

Die Operatoren in zwei Theorien mit unterschiedlichen Hamiltonoperatoren müssen nicht gleich sein, sie müssen sich nur so ändern, dass die Poincare-Algebra immer noch schließt. Wenn Sie einen originalen Hamiltonian hätten$H_0$und du hast es gestört$H_0\to H= H_0+V$, dann senden$H \to H-E_0$läuft im Grunde darauf hinaus, den Hamiltonian zu stören$H_0$von$V-E_0$. Für Störungen, die Lorentz-invariant aus lokalen Feldern aufgebaut sind, ist es immer möglich, die Algebra so zu verändern, dass sogar in der Wechselwirkungstheorie die Algebra schließt.

Tatsächlich ist dies im Grunde die Antwort auf die Frage: Welche Arten von Störungen kann ich zum Hamilton-Operator hinzufügen, die zu einer Lorentz-Invariantentheorie führen, die dem Cluster-Zerlegungsprinzip gehorcht? Ich werde skizzieren, wie das Argument geht.

In der freien Theorie haben wir Zustände der Form$a_p^{\dagger}...|0\rangle$. Dies ist die übliche Definition unseres freien Hilbert-Raums. In Betracht ziehen$[K^0_i,H_0]=-iP_i$. Wir wollen, dass das Momentum-Label nach der Störung dasselbe bedeutet (wir haben nur unsere Energien verändert), aber wir haben gesendet$H_0\to H_0+V$. So naiv greifen wir einen Begriff auf$[K_i^0,V]$. Von diesen beiden Betreibern zu verlangen, dass sie pendeln, ist eine zu starke Einschränkung. Also lassen wir stattdessen zu$K_i^0 \to K_i^0+K_i^V$so dass

$$\begin{equation} [K^0,V]+[K^V,H_0]+[K^V,V]=0 \end{equation}$$ Verwendung der Kommutierungsbeziehungen $[a,a^{\dagger}]$, etc Sie können zeigen, dass, wenn V von der Form ist $$\begin{equation} V=\int d^3x \mathcal{V}(\phi(\vec{x})) \end{equation}$$ Wo $\phi(\vec{x})$ist ein lokales Feld, das aus den Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren aufgebaut ist, dann eine Lösung $$\begin{equation} K^V_i=\int d^3x x_i\mathcal{V}(\phi) \end{equation}$$ schließt die Algebra (Sie müssen wirklich nur den von Ihnen erwähnten Kommutator überprüfen). Das soll nicht heißen, dass lokale QFTs die einzige Möglichkeit sind, Lorentz-invariante Quantensysteme zu bauen, es sagt nur, dass lokale QFTs einige der Lösungen sind.

Das Problem ist, dass$E_0$ist nicht aus lokalen Feldern aufgebaut und kann nicht einmal wirklich lokal in einer unendlichen Volumen-QFT geschrieben werden. Sie würden etwas von der Form wollen$V=\int d^3x \frac{E_0}{V}$. Für eine solche Störung$K_V=0$und wir können nicht zufrieden stellen

$$\begin{equation} [K^V_i,P_j]=\delta^{ij}E_0 \end{equation}$$ Dies ist nicht so überraschend, da eine Konstante zu hinzugefügt wird $P^0$aber nicht $P_i$ist nicht wirklich Lorentz-invariant.

Also meiner Meinung nach ist die Subtraktion eher ein Cheat, der zufällig funktioniert, da wir immer nur wirklich rechnen$|\langle out| S|in \rangle|^2$wofür es egal ist.