Weinbergs Klassifikation von Ein-Teilchen-Zuständen und Darstellungen der Poincare-Gruppe

Eine Darstellung einer Gruppe$G$ist ein Paar$(\rho, V)$Wo$V$ist ein Vektorraum und$\rho : G\to GL(V)$ist ein Homomorphismus. Wenn$V$ist eigentlich ein Hilbertraum und$\rho : G\to \mathcal{U}(V)$Karten in die unitäre Gruppe von$V$und ist dann stark stetig$\rho$ist eine einheitliche Darstellung.

In Abschnitt 2.5 untersucht Weinberg die Klassifikation von Ein-Teilchen-Zuständen. Was er tut, ist:

1. Er bemerkt zuerst, dass die einheitliche Darstellung$(U,\mathscr{H})$der Poincare-Gruppe führt zu den Momentum-Operatoren$P^\mu$. Dann betrachtet er die Basis der Eigenzustände von$P^\mu$, nämlich$\Psi_{p,\sigma}$.

2. Das merkt er dann$U(\Lambda) = U(\Lambda, 0)$- die Einschränkung von$U$zur eigentlichen orthochronen Lorentz-Gruppe - beim Einwirken$\Psi_{p,\sigma}$ergibt einen Eigenvektor von$P^\mu$mit Eigenwert$\Lambda^\mu_\nu p^\nu$. Daher liegt es in dem zugeordneten Eigenraum$\Lambda p$Sein

   $$U(\Lambda) \Psi_{p,\sigma}=\sum_{\sigma'} C_{\sigma'\sigma}(\Lambda, p) \Psi_{\Lambda p,\sigma'}.$$

3. Er sagt Folgendes (worüber ich verwirrt bin):

   Im Allgemeinen kann es möglich sein, durch Verwendung geeigneter Linearkombinationen der$\Psi_{p,\sigma}$die zu wählen$\sigma$Etiketten so, dass die Matrix$C_{\sigma'\sigma}(\Lambda,p)$ist blockdiagonal; mit anderen Worten, damit die$\Psi_{p,\sigma}$mit$\sigma$innerhalb eines beliebigen Blocks allein liefern eine Darstellung der inhomogenen Lorentz-Gruppe. Es liegt nahe, die Zustände einer bestimmten Teilchensorte mit den Komponenten einer Darstellung der inhomogenen Lorentz-Gruppe zu identifizieren, die irreduzibel ist, in dem Sinne, dass sie auf diese Weise nicht weiter zerlegt werden kann.

Jetzt vermisse ich Weinbergs Punkt. Es scheint, dass er tatsächlich von vollständiger Reduzierbarkeit spricht, nämlich der Eigenschaft, dass die Repräsentationen in irreduzible zerlegt werden können.

Es scheint jedoch, dass für Gruppen wie die Poincare-Gruppe eine vollständige Reduzierbarkeit nicht trivial abzuleiten ist – ich habe in dieser Diskussion gelesen , dass sie tatsächlich direkte Integrale erfordert.

Es scheint also, dass Weinberg zur Bewältigung dieser Komplikationen, die von den Übersetzungen herrühren, auf eine Basis der Übersetzungsgeneratoren umsteigt.

Aber wie funktioniert das wirklich? Warum in die vollständige Reduzierbarkeit für die Poincare-Gruppe einsteigen, es ist eine gute Idee, dies zu tun? Übrigens, warum ergibt dies eine vollständige Reduzierbarkeit? Betrachtet er „jeden Eigenraum von$P$auf einmal"?

Auch was er damit meint$\sigma$auf jedem Block$\Psi_{p\sigma}$eine Vertretung der Poincare-Gruppe vorlegen? Ich meine,$U$eine Darstellung ist, und wenn wir ihre Wirkung einfach auf einen Unterraum von beschränken$\mathscr{H}$es wird so bleiben.

Wie also ist Weinbergs Argument zu verstehen (bei dem es anscheinend um vollständige Reduzierbarkeit geht) und wie hängt es mit der „üblicheren“ Darstellungstheorie zusammen?