Darstellungen der Lorentz-Gruppe in beliebig vielen Raum-Zeit-Dimensionen...

Lassen S Ö ( 1 , d − 1 ) ↑ sei die zusammenhängende Lorentzgruppe in d Maße. Ich suche nach einem Buch/Artikel, in dem seine endlichdimensionalen projektiven Darstellungen im Detail untersucht werden. Überraschenderweise konnte ich online nichts finden, also bin ich hier.

Einige Themen, die ich gerne in den Referenzen behandelt sehen möchte, sind:

  1. Entspricht eine projektive Darstellung einer regulären Darstellung der Spingruppe? S p ich n ( 1 , d − 1 ) ?

  2. Ist jede projektive Darstellung zerlegbar (dh sie kann bis auf Ähnlichkeit als direkte Summe irreduzibler Darstellungen geschrieben werden)?

  3. Wie können wir alle irreduziblen Darstellungen klassifizieren? Mit anderen Worten, wie viele Etiketten brauchen wir, um eine bestimmte Darstellung zu spezifizieren? sind das halbe ganze Zahlen? (in d = 4 , haben wir zwei Etiketten, vgl. das ( m , n ) Vertretung, das ist ( 2 m + 1 ) ( 2 n + 1 ) -dimensional)

  4. Kann ein beliebiges Objekt, das sich gemäß einer irreduziblen Darstellung transformiert, als Tensorprodukt von Spinoren geschrieben werden? (in d = 4 , ein Element, das sich gemäß dem transformiert ( m , n ) Darstellung kann mit einem Objektträger identifiziert werden m gepunktet und n undpunktierte Spinor-Indizes).

  5. Wie funktioniert eine große Transformation ( C , P , T ) auf ein beliebiges Objekt einwirken, das sich unter einer bestimmten projektiven Darstellung transformiert? (in d = 4 , die allgemeinen Formeln finden sich zB in Wightman's PCT).

Jede Referenz, die mindestens eines dieser Themen anspricht, ist willkommen und wird geschätzt. Im Idealfall würde die beste Referenz sie alle besprechen.

Ich glaube, ich kenne die Antwort auf die erste und zweite Teilfrage, aber ich habe sie der Vollständigkeit halber trotzdem aufgenommen (der Mangel an Ergebnissen bei den typischen Google-Suchen legt nahe, dass dieser Beitrag möglicherweise das erste Ergebnis ist, wenn man googelt " Darstellungen des Lorentz in höheren Dimensionen").

Um möglicherweise irrelevante Antworten zu vermeiden, lassen Sie mich hier (redundant) ausdrücklich sein: Bitte beachten Sie, dass es um LORENTZ geht, nicht um POINCARÉ . Das sind ganz unterschiedliche Probleme. Die Verweise in der vorhandenen Antwort beziehen sich nur auf letzteres (oder ersteres im speziellen Fall von d ≡ 4 ), also beantworten sie keine meiner Fragen. Wenn jemand die Absicht hat, eine Antwort zu veröffentlichen, stellen Sie bitte sicher, dass sie sich auf Lorentz und nicht auf Poincaré konzentriert.
Ich interessiere mich dafür und bin enttäuscht zu sehen, dass Sie weder hier noch auf MO alle Ihre Fragen beantwortet bekommen haben. Wenn Sie jemals eine gute Referenz gefunden haben, könnten Sie selbst eine Antwort schreiben?
@G.Smith Leider kenne ich immer noch nicht die vollständige Antwort auf diese Frage! Ich glaube, ich kenne die Antwort (naja, abgesehen von q.5) im euklidischen Fall SO(d), aber die Übersetzung in den Lorentzschen Fall SO(1,d-1) ist kompliziert und für mich überhaupt nicht offensichtlich wie es geht. Zum Beispiel machen Spinoren seltsame Dinge, wenn sie die Signatur ändern.
Die Lorentz-Gruppe ist isomorph zur euklidischen konformen Gruppe, daher sind die Darstellungen, nach denen Sie suchen, im Grunde die Darstellungen mit dem höchsten Gewicht der konformen Gruppe. Eine SEHR ausführliche Diskussion dazu finden Sie im Buch „Harmonische Analyse der n-dimensionalen Lorentz-Gruppe und ihre Anwendung auf die konforme Quantenfeldtheorie“.
@ Prahar Guter Punkt! danke, ich werde es überprüfen.

Antworten (1)

Die Vorlesungsnotizen

  • Bekaert, X. und Boulanger, N., Die einheitlichen Darstellungen der Poincaré-Gruppe in jeder Raumzeitdimension [ arXiv:hep-th/0611263 ]

sind eher nett. Ich würde sagen, es setzt Standardkenntnisse (Physik) von QFT voraus. Hier ist die Zusammenfassung:

Eine umfassende gruppentheoretische Behandlung linear-relativistischer Wellengleichungen auf Minkowski-Raumzeit beliebiger Dimension D > 3 wird in diesem Vorlesungsskript vorgestellt. Zunächst wird die Eins-zu-Eins-Übereinstimmung zwischen linear relativistischen Wellengleichungen und einheitlichen Darstellungen der Isometriegruppe überprüft. Die Methode der induzierten Repräsentationen reduziert wiederum das Problem der Klassifizierung der Repräsentationen der Poincaré-Gruppe ich S Ö ( D − 1 , 1 ) ↑ nur zur Einteilung der Darstellungen der Stabilitätsuntergruppen. Daher kann eine erschöpfende Behandlung der beiden wichtigsten Klassen von einheitlichen irreduziblen Darstellungen, die massiven und masselosen Teilchen entsprechen (die letztere Klasse zerfällt wiederum in die „Helizitäts“- und die „Unendlich-Spin“-Darstellung), kann über die gut- bekannte Darstellungstheorie der orthogonalen Gruppen Ö ( n ) (mit D − 3 ≤ n ≤ D − 1 ). Schließlich werden kovariante Wellengleichungen für jede unitäre irreduzible Darstellung der Poincaré-Gruppe mit nicht negativem Massenquadrat angegeben. Tachyonische Darstellungen werden ebenfalls untersucht. Alle diese Schritte werden in vielen Details und mit Beispielen behandelt. Die vorliegenden Anmerkungen enthalten auch eine in sich abgeschlossene Übersicht über die Darstellungstheorie der allgemeinen linearen und (in)homogenen orthogonalen Gruppe s in Form von Young-Diagrammen.

Diese Referenz liefert zumindest die Antwort auf die Unterfrage (2) des OP [siehe Abschnitt 1.3] und, glaube ich, Unterfrage (3) [nämlich: Young-Diagramme, siehe Abschnitt 4.3 ff.].

Siehe auch Abschnitt 3 der

Für den eher mathematisch veranlagten Leser das Vorlesungsskript

verdienen sicherlich Erwähnung. Vorausgesetzt, dass Sie mit Analysis, Differentialgeometrie und Funktionsanalyse vertraut sind, bietet diese Referenz eine schöne und detaillierte mathematische Behandlung des Themas. Es umfasst Dinge wie die Grundlagen der Repräsentationstheorie, das Anheben von projektiven Reps zu (anti)unitären Reps der universellen Hülle [Beantwortung von Teilfrage (1) ], die Voraussetzungen der Spektraltheorie, induzierte Repräsentationen und die umgekehrte Konstruktion sowie Repräsentationen von halb- direkte Produkte.

[Ich würde erwarten, dass die ausführliche Antwort auf Frage (2) auch hier irgendwo ist, aber ich habe sie beim Überfliegen des Textes nicht gefunden.]

Die gegen Ende besprochenen Anwendungen, d.h. Wigners Klassifikation einheitlicher Poincaré-irreps (siehe Abschnitt 12 ff.) konzentriert sich auf den Fall d = 4 , aber die Diskussion ist trotzdem lehrreich.

Ich kenne den ersten Hinweis, der zwar sehr nett ist, aber keine meiner Fragen beantwortet, zumindest nicht direkt. Dieses Papier befasst sich mit den Darstellungen von ich S Ö ( 1 , d − 1 ) ↑ und von S Ö ( n ) (das ist die kleine Gruppe der darin analysierten Teilchen). Hier frage ich nach den Darstellungen von S Ö ( 1 , d − 1 ) , was wie ein ähnliches Problem aussieht , aber es ist nicht . Zum einen ist letzteres halbwegs einfach, ersteres dagegen nicht. Ich werde den Rest der Referenzen plündern. Auf jeden Fall vielen Dank für Ihre Zeit!
(Für niedrigere Dimensionen siehe die Antwort unter mathoverflow.net/a/210411/45956. )
Nochmals vielen Dank, aber dieser Link erklärt die Darstellungen von Poincaré, nicht von Lorentz. Das sind sehr unterschiedliche Probleme, obwohl sie verwandt sind. Lorentz ist halb einfach. Poincaré ist es nicht. Die Darstellungen der letzteren erhält man, à la Wigner, mittels der Darstellungen der orthogonalen Gruppe, was einfach und kompakt ist. So sind sowohl Poincaré als auch S Ö ( n ) sind leicht zu analysieren, nicht ganz so Lorentz.
@AccidentalFourierTransform Okay, mir war nicht klar, dass du Lorentz statt Poincaré willst. Danke fürs klarstellen. Ich lasse das Obige stehen, da andere vielleicht noch daran interessiert sein könnten.
@AccidentalFourierTransform ... Aber ich denke immer noch, dass Abschnitt 3 der letzten Referenz zumindest Ihre Teilfrage (1) beantwortet.
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