SU(3)SU(3)\mathrm{SU(3)} Zerlegung von 3⊗3¯=8⊕13⊗3¯=8⊕1\mathbf{3} \otimes \mathbf{\bar{3}} = \mathbf{8} \oplus \mathbf{1}?

ABSCHNITT A: Was für einen Komplex unveränderlich bleibt$\:3\times 3\:$Tensor hängt von seinem Transformationsgesetz ab $\:U \in SU(3)\:$

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FALL 1 :$\:\boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}=\boldsymbol{6}\boldsymbol{\oplus}\overline{\boldsymbol{3}}\:$

Das Transformationsgesetz für den Komplex$\:3\times 3\:$Tensor$\:\mathrm{X}\:$in diesem Fall ist

$$\begin{equation} \mathrm{X }^{\prime}=U\mathrm{X}U^{\mathsf{T}}\quad \tag{A-01} \end{equation}$$ Hier ist die Symmetrie (+) oder Antisymmetrie (-) da invariant $$\begin{equation} \mathrm{X}^{\mathsf{T}}=\pm\:\mathrm{X} \Longrightarrow {(\mathrm{X }^{\prime})}^{\mathsf{T}}=(U\mathrm{X}U^{\mathsf{T}})^{\mathsf{T}}= {(U^{\mathsf{T}})}^{\mathsf{T}}\mathrm{X}^{\mathsf{T}}U^{\mathsf{T}}=U(\pm\:\mathrm{X})U^{\mathsf{T}}=\pm\:\mathrm{X }^{\prime} \tag{A-02} \end{equation}$$

In diesem Fall ist es sinnvoll, den Tensor in seine symmetrischen und antisymmetrischen Teile zu zerlegen

$$\begin{equation} \mathrm{\Psi}=\dfrac{1}{2} \left(\mathrm{X}+\mathrm{X}^{\mathsf{T}}\right)\:, \quad\mathrm{\Omega}=\dfrac{1}{2} \left(\mathrm{X}-\mathrm{X}^{\mathsf{T}}\right) \tag{A-03} \end{equation}$$ Der symmetrische Teil $\:\mathrm{\Psi}\:$hängt von 6 Parametern ab, ist also identisch mit einem Komplex $\:6$-Vektor $\:\boldsymbol{\psi}\:$die zu einem komplexen 6-dimensionalen invarianten Unterraum gehört und unter einer speziellen unitären Transformation transformiert wird $\:W \in SU(6)\:$

$$\begin{equation} \boldsymbol{\psi}^{\prime}=W\boldsymbol{\psi}\:, \quad W \in SU(6) \tag{A-04} \end{equation}$$

während andererseits der antisymmetrische Teil$\:\mathrm{\Omega}\:$hängt von 3 Parametern ab, ist also identisch mit einem Komplex$\:3$-Vektor$\:\boldsymbol{\omega}\:$die zu einem komplexen 3-dimensionalen invarianten Unterraum gehört und unter der speziellen unitären Transformation transformiert wird$\:\overline{U} \in SU(3)\:$

$$\begin{equation} \boldsymbol{\omega}^{\prime}=\overline{U}\boldsymbol{\omega}\:, \quad \overline{U} \in SU(3) \tag{A-05} \end{equation}$$ Deshalb ergeben die symmetrischen und antisymmetrischen Teile die Terme $\:\boldsymbol{6}\:$und $\:\overline{\boldsymbol{3}}\:$in der rechten Hand der Gleichung $\:\boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}=\boldsymbol{6}\boldsymbol{\oplus}\overline{\boldsymbol{3}}\:$beziehungsweise.

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FALL 2 :$\:\boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\overline{\boldsymbol{3}}=\boldsymbol{8}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{1}\:$

Das Transformationsgesetz für den Komplex$\:3\times 3\:$Tensor$\:\mathrm{X}\:$in diesem Fall ist

$$\begin{equation} \mathrm{X }^{\prime}=U\mathrm{X}U^{\boldsymbol{*}}=U\mathrm{X}U^{-1} \tag{A-06} \end{equation}$$ Für Interessierte wird dies in ABSCHNITT B bewiesen , motiviert durch das Abenteuer, die Struktur von Mesonen unter der Quark-Theorie zu erklären.
Hier ist die Symmetrie (+) oder Antisymmetrie (-) NICHT invariant $$\begin{equation} \mathrm{X}^{\mathsf{T}}=\pm\:\mathrm{X} \Longrightarrow {(\mathrm{X }^{\prime})}^{\mathsf{T}}=(U\mathrm{X}U^{\boldsymbol{*}})^{\mathsf{T}}= {(U^{\boldsymbol{*}})}^{\mathsf{T}}\mathrm{X}^{\mathsf{T}}U^{\mathsf{T}}=\overline{U}(\pm\:\mathrm{X})U^{\mathsf{T}} \ne\pm\:\mathrm{X }^{\prime} \tag{A-07} \end{equation}$$

Es macht also KEINEN SINN, den Tensor in seine symmetrischen und antisymmetrischen Teile zu zerlegen.

Andererseits :

(1) wenn$\:\mathrm{X}\:$ist ein konstanter Tensor, also ein skalares Vielfaches der Identität,$\:\mathrm{X}=z\mathrm{I}\:$($\:z \in \mathbb{C}\:$) , dann ist invariant$\:\mathrm{X }^{\prime}= U\mathrm{X}U^{-1}=U\left(z\mathrm{I}\right)U^{-1}=z\mathrm{I}=\mathrm{X}\:$

oder

(2) Da die Transformation (A-06) eine Ähnlichkeitstransformation ist, erhält sie die Spur (=Summe der Elemente auf der Hauptdiagonale) von$\:\mathrm{X}\:$, das ist$\:Tr \left(\mathrm{X}^{\prime}\right)=Tr\left(\mathrm{X}\right)\:$. Ein spurloser Tensor bleibt also spurlos.

Es würde nicht sehr gut klingen, aber in diesem Fall sind die Invarianten die "Spurlosigkeit" und die "Skalarheit".

In diesem Fall ist es sinnvoll, den Tensor in einen spurlosen und in einen skalaren Teil aufzuspalten :

$$\begin{equation} \mathrm{\Phi}=\mathrm{X}-\left[\dfrac{1}{3}Tr\left(\mathrm{X}\right)\right]\cdot\mathrm{I}\:, \quad \mathrm{\Upsilon}=\left[\dfrac{1}{3}Tr\left(\mathrm{X}\right)\right]\cdot\mathrm{I} \tag{A-08} \end{equation}$$ Der spurlose Teil $\:\mathrm{\Phi}\:$hängt von 8 (=3x3-1) Parametern ab, ist also identisch mit einem Komplex $\:8$-Vektor $\:\boldsymbol{\phi}\:$der zu einem komplexen 8-dimensionalen invarianten Unterraum gehört, der NICHT WEITER AUF INVARIANTEN -UNTERRÄUME REDUZIERT WERDEN KANN und unter einer speziellen einheitlichen Transformation transformiert wird $\:V \in SU(8)\:$ $$\begin{equation} \boldsymbol{\phi}^{\prime}=V\boldsymbol{\phi}\:, \quad V \in SU(8) \tag{A-09} \end{equation}$$ während andererseits der skalare Teil $\:\mathrm{\Upsilon}\:$hängt von 1 Parameter ab, ist also identisch mit einem Komplex $\:1$-Vektor $\:\boldsymbol{\upsilon}\:$der zu einem komplexen 1-dimensionalen invarianten Unterraum gehört (identisch mit der Menge der komplexen Zahlen $\:\mathbb{C}\:$) und wird unter der speziellen unitären Transformation transformiert $\:\mathrm{I} \in SU(1)\:$
(identisch mit der Identität) $$\begin{equation} \boldsymbol{\upsilon}^{\prime}=\mathrm{I}\boldsymbol{\upsilon}=\boldsymbol{\upsilon} \tag{A-10} \end{equation}$$ Beachten Sie, dass $\:SU(1)\equiv \{\:\mathrm{I}\:\}\:$, das ist die Gruppe $\:SU(1)\:$hat nur ein Element, die Identität $\:\mathrm{I}\:$, während $\:U(1)\equiv\{\:U\::\:U=e^{i\theta}\mathrm{I}\:, \quad \theta \in \mathbb{R} \}\:$, das ist mathematisch identisch mit dem Einheitskreis in $\:\mathbb{C}\:$.

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ABSCHNITT B: Mesonen von drei Quarks

Angenommen, wir kennen nur die Existenz von drei Quarks:$\boldsymbol{u}$,$\boldsymbol{d}$und$\boldsymbol{s}$. Bei voller Symmetrie (gleiche Masse) sind dies die Grundzustände, let

$$\begin{equation} \boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} \qquad \boldsymbol{d}= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} \qquad \boldsymbol{s}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \tag{B-01} \end{equation}$$ eines dreidimensionalen komplexen Hilbert-Raums von Quarks, sagen wir $\mathbf{Q}\equiv \mathbb{C}^{\boldsymbol{3}}$. Ein Quark $\boldsymbol{\xi} \in \mathbf{Q}$wird in Bezug auf diese Grundzustände ausgedrückt als $$\begin{equation} \boldsymbol{\xi}=\xi_1\boldsymbol{u}+\xi_2\boldsymbol{d}+\xi_3\boldsymbol{s}= \begin{bmatrix} \xi_1\\ \xi_2\\ \xi_3 \end{bmatrix} \qquad \xi_1,\xi_2,\xi_3 \in \mathbb{C} \tag{B-02} \end{equation}$$ Für einen Quark $\boldsymbol{\eta} \in \mathbf{Q}$ $$\begin{equation} \boldsymbol{\eta}=\eta_1\boldsymbol{u}+\eta_2\boldsymbol{d}+\eta_3\boldsymbol{s}= \begin{bmatrix} \eta_1\\ \eta_2\\ \eta_3 \end{bmatrix} \tag{B-03} \end{equation}$$

das jeweilige Antiquark$\overline{\boldsymbol{\eta}}$wird durch die komplex Konjugierten der Koordinaten ausgedrückt

$$\begin{equation} \overline{\boldsymbol{\eta}}=\overline{\eta}_1 \overline{\boldsymbol{u}}+\overline{\eta}_2\overline{\boldsymbol{d}}+\overline{\eta}_3\overline{\boldsymbol{s}}= \begin{bmatrix} \overline{\eta}_1\\ \overline{\eta}_2\\ \overline{\eta}_3 \end{bmatrix} \tag{B-04} \end{equation}$$ in Bezug auf die Primärzustände
$$\begin{equation} \overline{\boldsymbol{u}}= \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} \qquad \overline{\boldsymbol{d}}= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} \qquad \overline{\boldsymbol{s}}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \tag{B-05} \end{equation}$$ die Antiquare von $\boldsymbol{u},\boldsymbol{d}$und $\boldsymbol{s}$beziehungsweise. Die Antiquarks gehören zu einem anderen Raum, dem Raum der Antiquarks $\overline{\mathbf{Q}}\equiv \mathbb{C}^{\boldsymbol{3}}$.

Da ein Meson ein Quark-Antiquark-Paar ist, versuchen wir, den Produktraum zu finden

$$\begin{equation} \mathbf{M}=\mathbf{Q}\boldsymbol{\otimes}\overline{\mathbf{Q}}\: \left(\equiv \mathbb{C}^{\boldsymbol{9}}\right) \tag{B-06} \end{equation}$$

Verwenden Sie die Ausdrücke (B-02) und (B-04) des Quarks$\boldsymbol{\xi} \in \mathbf{Q}$und das Antiquark$\overline{\boldsymbol{\eta}} \in \overline{\mathbf{Q}}$bzw. haben wir für den Produkt-Meson-Zustand$\mathrm{X} \in \mathbf{M}$

$$\begin{equation} \begin{split} \mathrm{X}=\boldsymbol{\xi}\boldsymbol{\otimes}\overline{\boldsymbol{\eta}}=&\xi_1\overline{\eta}_1 \left(\boldsymbol{u}\boldsymbol{\otimes}\overline{\boldsymbol{u}}\right)+\xi_1\overline{\eta}_2 \left(\boldsymbol{u}\boldsymbol{\otimes}\overline{\boldsymbol{d}}\right)+\xi_1\overline{\eta}_3 \left(\boldsymbol{u}\boldsymbol{\otimes}\overline{\boldsymbol{s}}\right)+ \\ &\xi_2\overline{\eta}_1 \left(\boldsymbol{d}\boldsymbol{\otimes}\overline{\boldsymbol{u}}\right)+\xi_2\overline{\eta}_2 \left( \boldsymbol{d}\boldsymbol{\otimes}\overline{\boldsymbol{d}}\right)+\xi_2\overline{\eta}_3 \left(\boldsymbol{d}\boldsymbol{\otimes}\overline{\boldsymbol{s}}\right)+\\ &\xi_3\overline{\eta}_1 \left(\boldsymbol{s}\boldsymbol{\otimes}\overline{\boldsymbol{u}}\right)+\xi_3\overline{\eta}_2 \left(\boldsymbol{s}\boldsymbol{\otimes}\overline{\boldsymbol{d}}\right)+\xi_3\overline{\eta}_3 \left(\boldsymbol{s}\boldsymbol{\otimes}\overline{\boldsymbol{s}}\right) \end{split} \tag{B-07} \end{equation}$$

Um die Ausdrücke zu vereinfachen, wird das Produktsymbol$"\boldsymbol{\otimes}"$entfällt und so

$$\begin{equation} \begin{split} \mathrm{X}=\boldsymbol{\xi}\overline{\boldsymbol{\eta}}=&\xi_1\overline{\eta}_1 \left(\boldsymbol{u}\overline{\boldsymbol{u}}\right)+\xi_1\overline{\eta}_2 \left(\boldsymbol{u}\overline{\boldsymbol{d}}\right)+\xi_1\overline{\eta}_3 \left(\boldsymbol{u}\overline{\boldsymbol{s}}\right)+ \\ &\xi_2\overline{\eta}_1 \left(\boldsymbol{d}\overline{\boldsymbol{u}}\right)+\xi_2\overline{\eta}_2 \left( \boldsymbol{d}\overline{\boldsymbol{d}}\right)+\xi_2\overline{\eta}_3 \left(\boldsymbol{d}\overline{\boldsymbol{s}}\right)+\\ &\xi_3\overline{\eta}_1 \left(\boldsymbol{s}\overline{\boldsymbol{u}}\right)+\xi_3\overline{\eta}_2 \left(\boldsymbol{s}\overline{\boldsymbol{d}}\right)+\xi_3\overline{\eta}_3 \left(\boldsymbol{s}\overline{\boldsymbol{s}}\right) \end{split} \tag{B-08} \end{equation}$$ Aufgrund der Tatsache, dass $\mathbf{Q}$und $\overline{\mathbf{Q}}$von derselben Dimension sind, ist es zweckmäßig, die Mesonzustände im 9-dimensionalen komplexen Produktraum darzustellen $\:\mathbf{M}=\mathbf{Q}\boldsymbol{\otimes}\overline{\mathbf{Q}}\:$pro Quadrat $3 \times 3$Matrizen anstelle von Zeilen- oder Spaltenvektoren

$$\begin{equation} \mathrm{X}=\boldsymbol{\xi}\overline{\boldsymbol{\eta}}= \begin{bmatrix} \xi_1\overline{\eta}_1 & \xi_1\overline{\eta}_2 & \xi_1\overline{\eta}_3\\ \xi_2\overline{\eta}_1 & \xi_2\overline{\eta}_2 & \xi_2\overline{\eta}_3\\ \xi_3\overline{\eta}_1 & \xi_3\overline{\eta}_2 & \xi_s\overline{\eta}_3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \xi_1\\ \xi_2\\ \xi_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \overline{\eta}_1 \\ \overline{\eta}_2 \\ \overline{\eta}_3 \end{bmatrix}^{\mathsf{T}} = \begin{bmatrix} \xi_1\\ \xi_2\\ \xi_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \overline{\eta}_1 & \overline{\eta}_2 & \overline{\eta}_3 \end{bmatrix} \tag{B-09} \end{equation}$$

Jetzt unter einer einheitlichen Transformation$\;U \in SU(3)\;$im dreidimensionalen Raum der Quarks$\;\mathbf{Q}\;$, wir haben

$$\begin{equation} \boldsymbol{\xi}^{\prime}= U\boldsymbol{\xi} \tag{B-10} \end{equation}$$ also im Raum der Antiquarks $\overline{\mathbf{Q}}\;$, seit $\;\boldsymbol{\eta}^{\prime}=U\boldsymbol{\eta}\;$ $$\begin{equation} \overline{\boldsymbol{\eta}^{\prime}}= \overline{U}\;\overline{\boldsymbol{\eta}} \tag{B-11} \end{equation}$$ und für den Mesonzustand $$\begin{equation} \mathrm{X}^{\prime}=\boldsymbol{\xi}^{\prime}\boldsymbol{\otimes}\overline{\boldsymbol{\eta}^{\prime}}=\left(U\boldsymbol{\xi}\right)\left(\overline{U}\overline{\boldsymbol{\eta}}\right) = \Biggl(U\begin{bmatrix} \xi_1\\ \xi_2\\ \xi_3 \end{bmatrix}\Biggr) \Biggl(\overline{U}\begin{bmatrix} \overline{\eta}_1\\ \overline{\eta}_2\\ \overline{\eta}_3 \end{bmatrix}\Biggr)^{\mathsf{T}} \\= U\Biggl(\begin{bmatrix} \xi_1\\ \xi_2\\ \xi_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \overline{\eta}_1 & \overline{\eta}_2 & \overline{\eta}_3 \end{bmatrix}\Biggr)\overline{U}^{\mathsf{T}} = U\left(\boldsymbol{\xi}\boldsymbol{\otimes}\overline{\boldsymbol{\eta}}\right)U^{*}=U\;\mathrm{X}\;U^{*} \tag{B-12} \end{equation}$$ damit ist das Transformationsgesetz (A-06) bewiesen.

$===================\text{end of answer}=======================$

ABBILDUNG : Die Quarkstruktur von$\:\boldsymbol{\eta}^{\prime}\:$,$\:\boldsymbol{\eta}\:$und$\:\boldsymbol{\pi}^{0}\:$Mesonen

(Anmerkung: Meson-Symbole$\:\boldsymbol{\eta}^{\prime}\:$und$\:\boldsymbol{\eta}\:$darf nicht mit den komplexen 3-Vektoren im Text verwechselt werden)

(1) Meson$\:\boldsymbol{\eta}^{\prime}\:$ist ein Singulett, repräsentativ für$\:\boldsymbol{1}\:$in$\:\boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\overline{\boldsymbol{3}}=\boldsymbol{8}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{1}\:$
(2) Mesonen$\:\boldsymbol{\eta}\:$und$\:\boldsymbol{\pi}^{0}\:$sind Mitglieder des Oktetts$\;\boldsymbol{\lbrace}\boldsymbol{\pi}^{+},\boldsymbol{\pi}^{-},\boldsymbol{\pi}^{0},\mathbf{K}^{+},\mathbf{K}^{-},\mathbf{K}^{0},\overline{\mathbf{K}}^{0},\boldsymbol{\eta}\boldsymbol{\rbrace}\;$, grundlegende Mesonzustände von$\boldsymbol{8}\:$in$\:\boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\overline{\boldsymbol{3}}=\boldsymbol{8}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{1}\:$wo

$\:\boldsymbol{\pi}^{+}\equiv\boldsymbol{u}\overline{\boldsymbol{d}}\:$ , $\:\boldsymbol{\pi}^{-}\equiv\boldsymbol{d}\overline{\boldsymbol{u}}\:$ , $\:\mathbf{K}^{+}\equiv\boldsymbol{u}\overline{\boldsymbol{s}}\:$ , $\:\mathbf{K}^{-}\equiv\boldsymbol{s}\overline{\boldsymbol{u}}\:$ , $\:\mathbf{K}^{0}\equiv\boldsymbol{d}\overline{\boldsymbol{s}}\:$ , $\:\overline{\mathbf{K}}^{0}\equiv\boldsymbol{s}\overline{\boldsymbol{d}}\:$ .

$\:\mathbf{Q}\boldsymbol{\otimes}\overline{\mathbf{Q}}=\boldsymbol{\lbrace}\boldsymbol{\pi}^{+},\boldsymbol{\pi}^{-},\boldsymbol{\pi}^{0},\mathbf{K}^{+},\mathbf{K}^{-},\mathbf{K}^{0},\overline{\mathbf{K}}^{0},\boldsymbol{\eta}\boldsymbol{\rbrace}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{\lbrace}\boldsymbol{\eta}^{\prime}\boldsymbol{\rbrace}\:$

Ok, ich glaube hier ist ein Fehler:

Ein allgemeiner Tensor$\varphi^i$verwandelt sich als:

$$\varphi^i\rightarrow U^i_{\phantom{1}j}\varphi^j$$ wohingegen $\varphi_i$verwandelt sich als: $$\varphi_i\rightarrow (U^\boldsymbol{\ast})_i^{\phantom{1}j}\varphi_j$$

Wo hast du diese Gleichungen gefunden? Das einheitliche Matrixelement in der zweiten Zeile sollte kein komplexes Konjugat sein. Ich erinnere mich nicht an Giorgis Konventionen, aber die übliche Notation , an die ich gewöhnt bin, ist diese:

$$U_i^{\phantom{i}j}=U_{ij},\quad \varphi_i\rightarrow U_i^{\phantom{1}j}\varphi_j\\ U^i_{\phantom{i}j}=U^\ast_{ij},\quad \varphi^\ast_i\equiv \varphi^i\rightarrow U^i_{\phantom{1}j}\varphi^j\equiv(U_i^{\phantom{i}j}\varphi_j)^\ast.$$ Daher würde ich in Ihren Gleichungen verstehen: $$(U^\ast)_i^{\phantom{i}j}\equiv U^\ast_{ij}=U^i_{\phantom{i}j}$$ und es bietet nicht das richtige Umwandlungsgesetz für $\varphi_i$.

BEARBEITEN : Nun, vorausgesetzt, die vorherigen Kommentare, lassen Sie mich einige Probleme mit der Notation klären, die dazu führen können, dass die Bedeutung dieser Transformationsgesetze verwechselt wird. Lassen Sie uns die zu bezeichnende Konvention wählen$SU(N)$Transformationen, das heißt$N\times N$Einheitsmatrizen mit Einheitsdeterminante, mit Großbuchstaben, wie$U$, und Basiszustände (Skalare, Vektoren und Tensoren) mit griechischen Kleinbuchstaben,$\psi\in \mathbb{C}^N$. Beispielsweise transformieren sich Vektorzustände wie folgt:

$$\psi\to U\psi,\quad \psi_i\to U_{ij}\psi_j\equiv U_i^{\ j}\psi_j$$ Beachten Sie, dass ich hier der Konvention gefolgt bin, Basiszustände der Fundamental- oder Vektordarstellung mit niedrigeren Indizes zu schreiben, wie es Georgi tut und wie Sie hier finden können . Dies ist die Konvention, an die ich gewöhnt bin, aber nichts hindert Sie daran, das Gegenteil zu tun und höhere Indizes zu wählen! Beachten Sie auch das $U\psi$repräsentiert das gewöhnliche Produkt von an $N\times N$Matrix durch einen Vektor $\psi=(\psi_1,\ldots,\psi_N)^T$, und erzeugen einen Vektor des gleichen Typs. In der Notation $U_{ij}$Der Index $i$stellt die Zeilen dar, während der zweite Index $j$stellt die Spalten dar. Es ist üblich, es so zu schreiben $U_i^{\ j}$Zeilen und Spalten zu unterscheiden. $\psi_i$ist ein Spaltenvektor und $i$zählt seine Zeilen. Sie können die konjugierte Darstellung mit Hilfe der konjugierten Vektoren definieren $\psi_i^\ast$, dessen Transformationsgesetz ist $$\psi^\ast\to (U\psi)^\ast=\psi^\ast U^\ast,\quad \psi_i^\ast\to (U^\ast)_{ij}\psi_j^\ast=\psi_j^\ast(U^\dagger)_{ji}$$ Da sich diese konjugierten Vektoren auf unterschiedliche Weise in Bezug auf transformieren $\psi_i$, ist es nützlich, obere Indizes einzuführen, um sie zu unterscheiden: $$\psi^i\equiv \psi_i^\ast \to U^\ast_{ij}\psi_j^\ast\equiv U^i_{\ \ j} \psi^j.$$ Wie Sie sehen können, werden die Indizes jetzt "unten rechts summiert". Die Erweiterung auf beliebige $(p,q)$-Tensor ist trivial, ihr Transformationsgesetz sind die des direkten (Diagonal-)Produkts $p$Typ $\psi^i$Vektoren und $q$Typ $\psi_i$Vektoren: $$\psi^{i_1\ldots i_p}_{j_1\ldots j_q}\to \big(U_{j_1}^{\ \ j'_1}\cdot\ldots\cdot U_{j_q}^{\ \ j'_q}\big)\big(U^{i_1}_{\ \ i'_1}\cdot\ldots\cdot U^{i_p}_{\ \ i'_p}\big)\psi^{i'_1\ldots i'_p}_{j'_1\ldots j'_q}.$$ Da obere und untere Indizes unterschiedliche Objekte darstellen, macht es keinen Sinn, sie zu mischen.

Erstens, wenn man die fundamentale Repräsentation nimmt (representation$N$) von$SU(N)$gemacht aus$N$Objekte$\varphi^i$, lautet das Transformationsgesetz:

$\varphi^i \to U^i{}_j \varphi^j$.

Wenn Sie das komplexe Konjugat nehmen, erhalten Sie:$\varphi^{*i} \to (U^*)^i{}_j \varphi^{*j}= (U^\dagger)^j{}_i \varphi^{*j}$.

Betrachten Sie nun den letzten Ausdruck mit$U^\dagger$, sieht man, dass es praktischer ist, Objekte zu definieren$\varphi_i$, die sich wie verwandeln$\varphi^{*i}$:

$\varphi_{i} \to (U^\dagger)^j{}_i \varphi_{j}$,

Das ist die Repräsentation$\bar N$

Nun klar, wann man das Produkt der beiden Darstellungen bildet$N$und$\bar N$, Sie haben eine Vertretung$T^i_j$was sich umwandelt als$\varphi^i\varphi_j$:

$T^i_j \to (U)^i_k (U^\dagger)^l_j T^k_l$

Zweitens können Sie die Darstellung nicht symmetrisieren oder antisymmetrisieren$N \otimes \bar N$, das ist$T^i_j$, weil die Indizes$i$und$j$unterschiedlicher Natur sein und unterschiedlichen Darstellungen entsprechen.

Nun, wenn Sie die Darstellung betrachten$N \otimes N$, das ist eine Darstellung$S^{ij}$, dann können Sie hier einen symmetrischen und einen antisymmetrischen Teil trennen, zum Beispiel haben Sie:

$3 \otimes 3 = 6 \oplus \bar 3$

Das$6$ist der symmetrische Teil, während die$\bar 3$ist dank des Levi-Civita-Tensors dual (äquivalent) zum antisymmetrischen Teil:$\varphi_i = \epsilon_{ijk} \varphi^{jk}$

[BEARBEITEN]

Aufgrund von OP-Kommentaren einige Genauigkeiten:

Du hast$U^\dagger = (U^*)^T$, wo$T$bedeutet transponierter Betrieb. Transposition bedeutet Austausch der Zeilen und Spalten der Matrix, also Austausch der$i$und$j$Indizes. Wenn Sie den Zeilenindex als oberen Index und den Spaltenindex als unteren Index setzen, dann setzt die Börse zwangsläufig den Zeilenindex als unteren Index und den Spaltenindex als oberen Index. Ihre Notation$(U^*)^i{}_j = (U^\dagger)_j{}^i$ist eine nicht allzu gute äquivalente Notation, ich sage nicht allzu gut, weil Sie die ursprüngliche Bedeutung verlieren, die ich oben beschrieben habe. Was die Darstellungen betrifft, ist dies eine andere Sache (diese sind nicht gleich$i$und$j$...), verwandelt sich der obere Index in a$N$Darstellung, und der untere Index transformiert sich als a$\bar N$Darstellung, also ist es wie bei Äpfeln und Bananen, Sie können nur äquivalente Mengen symmetrisieren oder antisymmetrisieren, die sich auf die gleiche Weise transformieren ($2$Äpfel bzw$2$Bananen), aber nicht$1$Banane +$1$Apfel

Das Problem ist: Sie dürfen obere Indizes nicht mit unteren Indizes (anti)symmetrisieren. Mit anderen Worten

$$S^{i}_{\;j} = S^{\;i}_{j}\,.$$ Daher ist die Zerlegung in symmetrisch + antisymmetrisch nur die Zerlegung ganzer Vektorraum + Nullvektorraum, was trivial ist.

Warum dürfen wir obere und untere Indizes nicht mischen?

1. Denn genau genommen wirken sie auf unterschiedliche Räume, also gibt es keine natürliche Aktion der Permutationsgruppe darüber. Ein Tensor vom Typ$(p,q)$ist eine Karte

   $$T(p,q) : V^{\otimes p} \otimes \tilde{V}{}^{\otimes q} \to \mathbb{R}\,,$$ wo$V$ist ein Vektorraum und$\tilde{V}$sein dualer (Funktionsraum$f:V\to\mathbb{R}$).

2. Denn damit kann man eigentlich die oberen Indizes loswerden und nur mit den unteren arbeiten

   $$\epsilon_{ijk}\,v^{i}_{\ldots} = v_{jk\ldots}\,.$$ dann macht es keinen Sinn, einen einzelnen Index mit einem Paar antisymmetrisierter Indizes zu permutieren.

3. Die irreduziblen Darstellungsdimensionen, die man erhalten kann, sind durch die Weyl-Dimensionsformel gegeben $$\mathrm{dim}[a,b] = \tfrac12 [(a+1)(b+1)(a+b+2)]\,, \quad a \geq 0, \,\,b\geq 0\,,\, a,b\in \mathbb{N}$$ und Sie können überprüfen, ob es keine Möglichkeit gibt, dorthin zu gelangen$5$heraus.