Wigner-Eckart-Theorem von SU(3)

Es gibt viele Methoden, um die Matrixelemente eines einfachen Lie-Algebra-Generators in einer gegebenen Darstellung zu berechnen. Für das vorliegende Problem werde ich versuchen, zwei Methoden ziemlich detailliert zu beschreiben und zwei andere Methoden zu skizzieren.

Die einzelnen Berechnungen beinhalten eigentlich elementare lineare Algebra und Kombinatorik, sind aber recht langwierig. Um beispielsweise alle Matrixelemente in der adjungierten Darstellung zu erhalten, benötigt man$8 \times 8 \times 8$Berechnungen

Methode 1

Die adjungierte Darstellung (per Definition) kann so realisiert werden, dass die Matrixelemente in Bezug auf eine orthonormale Basis die Strukturkonstanten sind

$\langle u_b | T_a | u_c\rangle = f^a_{bc}$

Methode-2

In$SU(3)$, tritt die adjungierte Darstellung im Tensorprodukt der Fundamentaldarstellung und ihres Duals auf:

$3\otimes\bar{3}\rightarrow 8 \oplus 1$

Es ist üblich, die Quark- und Anti-Quark-Namen für die Basisvektoren zu verwenden.

die fundamentale Darstellung:$u : (1,0), d : (-1, 1), s : (0, -1)$

es ist dual$\bar{u} : (-1,0), \bar{d} : (1, -1), \bar{s} : (0, 1)$

Die Gewichte der adjungierten Darstellung sind gegeben durch: (siehe aus Slanskys Seite 32 Gleichung (5.4))

$v_1 : (1,1), v_2 : (-1,2), v_3 : (2,-1), v_4 : (0,0), v_5 : (0,0), v_6 : (1,-2), v_7 : (-2,1), v_8 : (-1,-1)$

Während es für die Gewichte ungleich Null nur eine Möglichkeit gibt, das Tensorprodukt zu konstruieren, ist:

$v_1 = u \otimes \bar{s}$

$v_2 = d \otimes \bar{s}$

$v_3 = u \otimes \bar{d}$

$v_6 = s \otimes \bar{d}$

$v_7 = d \otimes \bar{u}$

$v_8 = s \otimes \bar{u}$

Der Nullgewichts-Unterraum wird aufgespannt von$u \otimes \bar{u}$,$d \otimes \bar{d}$,$s \otimes \bar{s}$, aber wir wissen aus der Tensorproduktzerlegung, dass die Gewichtsvektoren in diesem Unterraum orthogonal zum Skalar sein müssen$u \otimes \bar{u} + d \otimes \bar{d} + s \otimes \bar{s}$, also können wir wählen:

$v_4 = \frac{u \otimes \bar{u} - d \otimes \bar{d}}{\sqrt 2}$

$v_5 = \frac{u \otimes \bar{u} + d \otimes \bar{d} -2 s \otimes \bar{s}}{\sqrt 6}$

Nun haben die Generatoren der Lie-Algebra auf dem Tensorprodukt die Form:

$T^a = T_{3}^a \otimes I + I \otimes T_{\bar{3}}^a$,

wobei die Wirkung auf die Fundamentaldarstellung durch die Gellmann-Matrizen erfolgt

$T_{3}^a = \lambda^a$

und die Wirkung auf den Dual erfolgt durch die negative Transponierung (nicht die Hermitesche Konjugierte):

$T_{\bar{3}}^a = -{\lambda^a}^t$

Jetzt sind wir in der Lage, Matrixelemente zu berechnen, zum Beispiel:

$\langle v_1 | T^3 | v_3\rangle = -\langle u \otimes \bar{s} | \lambda^3 \otimes I + I \otimes{ \lambda^3}^t | u \otimes \bar{d} \rangle = - \langle \bar{s} | { \lambda^3}^t |\bar{d} \rangle$

Das heißt, man kann die Matrixelemente in der adjungierten Darstellung anhand der Matrixelemente in der fundamentalen Darstellung und ihrem Dual berechnen.

Es sollte betont werden, dass die durch dieses Verfahren erhaltenen Matrizen sich sehr wahrscheinlich von denjenigen unterscheiden werden, die durch das erste Verfahren erhalten werden, aber einheitlich äquivalent sein werden.

Methode-3

Die Basis des adjungierten Darstellungsraums kann in Form von 8 Young-Tableaus geschrieben werden, in denen die erste Zeile die Länge 2 und die zweite Zeile die Länge 1 hat. Dieses Verfahren ermöglicht es, die Matrixelemente in Form der Matrixelemente eines Tripels zu schreiben Tensorprodukt der Fundamentaldarstellung. Auf ein Beispiel gehe ich hier aber nicht ein.

Methode-4

Die Matrixelemente in der Cartan-Weyl-Basis lassen sich prinzipiell aus dem Gewichtsdiagramm berechnen.