Wie finde ich die Tensorkomponenten aller Gewichte einer Darstellung von SU(3)SU(3)SU(3), zB der sechsdimensionalen Darstellung (2,0)(2,0)(2,0)?

Das Irreduzible$SU(3)$Darstellungen von Dynkin-Indizes$(n,0)$sind die$n-$symmetrische Tensorpotenzen der Fundamentaldarstellung.

Deshalb lass$e_1$,$e_2$,$e_3$sei dann eine Orthonormalbasis des fundamentalen Darstellungsraums

$v_{ii} = e_i \otimes e_i$

$v_{ij} = \frac{e_i \otimes e_j + e_j \otimes e_i }{\sqrt2}$,$i \ne j$

Die Identifizierung der fundamentalen Darstellungsbasis mit den Gewichtsvektoren folgt:

$e_1 = (1,0)$

$e_2 = (-1,1)$

$e_3 = (0,-1)$,

Die Gewichte der$(2,0)$Repräsentationsraum erhalten Sie durch Besichtigung:

$v_{11} = (2,0)$

$v_{22} = (-2,2)$

$v_{33} = (0,-2)$

$v_{12} = (0,1)$

$v_{13} = (1,-1)$

$v_{23} = (-1,0)$

Es gibt viele Algorithmen zur Konstruktion von Gruppendarstellungen. Eine hervorragende Referenz ist Slanskys wegweisender Artikel: Group Theory for Unified Model Building.