Lorentzgruppendarstellungen in QFT: Was ist der Vektorraum?

Question

Lorentzgruppendarstellungen in QFT: Was ist der Vektorraum?

Physik
Gruppentheorie
Lorentz-Symmetrie
Quantenfeldtheorie
Gruppendarstellungen
Repräsentationstheorie

zzz

In QFT wird eine Darstellung der Lorentz-Gruppe wie folgt angegeben:

U^{†} (Λ) ϕ (x) U (Λ) = R (Λ) ϕ (Λ^{- 1} x)

$U^\dagger(\Lambda)\phi(x) U(\Lambda)= R(\Lambda)~\phi(\Lambda^{-1}x)$ Wo

Λ

$\Lambda$ ist ein Element der Lorentzgruppe,

ϕ (x)

$\phi(x)$ ist ein Quantenfeld mit möglicherweise vielen Komponenten,

U

$U$ ist einheitlich, und

R

$R$ ein Element in einer Darstellung der Lorentz-Gruppe.

Wir wissen, dass eine Darstellung eine Abbildung von einer Lie-Gruppe auf die Gruppe linearer Operatoren in einem Vektorraum ist. Meine Frage ist für die oben angegebene Darstellung, was ist der Vektorraum, auf den die Darstellung wirkt?

Naiv mag es aussehen, als würde diese Darstellung auf die Menge der Feldoperatoren wirken, z $R$ bildet einen Operator ab $\phi(x)$ zu einem anderen Feldoperator $\phi(\Lambda^{-1}x)$ , und wenn wir Feldoperatoren locker als Dinge definieren, die man aus der kanonischen Quantisierung klassischer Felder erhält, können wir uns möglicherweise davon überzeugen, dass dies tatsächlich ein Vektorraum ist.

Aber dann erinnern wir uns, dass die Dimension einer Repräsentation einfach die Dimension des Raumes ist, auf den sie wirkt. Das heißt, wenn wir nehmen $R$ im sein $(1,1)$ Singulett-Darstellung, dies ist eine Darstellung der Dimension 1, daher hat ihr Zielraum die Dimension 1. Wenn wir dann den Zielraum in den Raum der Felder bringen, bedeutet dies $\phi(x)$ und $\phi(\Lambda x)$ durch lineare Faktoren zusammenhängen, wovon ich sicher nicht überzeugt bin. EDIT: Dies kann funktionieren, wenn wir das Set von allen anzeigen $\phi$ als Feld, über dem wir den Vektorraum definieren, siehe den hinzugefügten Abschnitt unten.

Ich denke, eine andere Möglichkeit, die Frage zu formulieren, ist die folgende: Wir alle wissen, dass Skalarfelder und Vektorfelder in der QFT ihre Namen von der Tatsache haben, dass sich Skalare unter Lorentz-Transformationen als Skalare und Vektoren wie Vektoren transformieren. Ich möchte die Aussage "ein Skalarfeld transformiert sich wie ein Skalar" formulieren, indem ich den Zielvektorraum einer skalaren Darstellung der Lorentz-Gruppe genau beschreibe, wie kann dies geschehen?

HINZUGEFÜGTER ABSCHNITT :

Lassen Sie mich ein explizites Beispiel dafür geben, worauf ich hinaus will: Nehmen wir die linkshändige Spinor-Darstellung, $(2,1)$ . Dies ist eine zweidimensionale Darstellung. Wir wissen, dass wirkt auf Dinge wie $(\phi_1,\phi_2)$ .

Nennen wir den aus Dingen bestehenden Raum der Form $(\phi_1,\phi_2)$ $V$ . Ist $V$ Zweidimensional?

Als klassische Feldtheorie betrachtet, ja, weil jeder $\phi_i$ ist nur ein Skalar. Als Quantenfeldtheorie, jeder $\phi_i$ ist ein Operator.

Das sehen wir in Ordnung $V$ Damit der Raum nach der Quantisierung zweidimensional ist, müssen wir die skalaren Quantenfelder als skalare Multiplikatoren von Vektoren betrachten können $V$ . dh wir müssen anzeigen $V$ als ein über einem (mathematischen) Feld von (Quanten-)Feldern definierter Vektorraum.

Wir müssen also prüfen, ob die Menge der (Quanten-)Felder (mathematische) Feldaxiome erfüllt. Kann das jemand überprüfen? Kommutativität scheint zu gelten, wenn wir, wie in der Quantenmechanik, annehmen, dass Felder und ihre komplexen Konjugate in angrenzenden Vektorräumen leben, anstatt in demselben. Die Prüfung auf Schließung unter Multiplikation würde eine axiomatische Definition dessen erfordern, was ein Quantenfeld ist.

ACuriousMind

Und ich bin es wieder, der an deiner Frage nörgelt ;) Was ist

U

$U$ ? Sind Sie sicher, dass die Definition eines Repräsentanten nicht lautet: „Unter einer Lorentz-Transformation

x \mapsto Λ x

$x \mapsto \Lambda x$ , die Felder transformieren sich als

ϕ (x) \mapsto R (Λ) ϕ (Λ^{- 1} x)

$\phi(x) \mapsto R(\Lambda)\phi(\Lambda^{-1}x)$ ." ? (Natürlich auch

ϕ (x)

$\phi(x)$ und

ϕ (Λ^{- 1} x)

$\phi(\Lambda^{-1}x)$ durch einen linearen Faktor verknüpft, ist der Faktor

1

$1$ - ein Skalarfeld ändert sich nicht unter Lorentztrafos )

zzz

So wie ich es verstehe:

U

$U$ transformiert

ϕ

$\phi$ als wäre es ein Operator auf einem Raum von Zuständen,

R

$R$ transformiert

ϕ

$\phi$ als ob da was drin wäre

R

$R$ 's Zielvektorraum. So

U

$U$ ist eine Darstellung auf den Zustandsraum in der Feldtheorie, wo

R

$R$ ist eine Darstellung auf eine Struktur, die die Felder einbezieht, und was genau diese Struktur ist, ist der Inhalt meiner Frage.

zzz

Nein

ϕ (x)

$\phi(x)$ und

ϕ (Λ^{- 1} x)

$\phi(\Lambda^{-1}x)$ , im Allgemeinen verschiedene Operatoren sind, transformieren sich Skalare nicht in dem Sinne, dass die Form unveränderlich ist, nicht in dem Sinne, dass das Feld überall einen konstanten Wert hat. Wenn beispielsweise der Operatorwert des Feldes an jeder Koordinate in der Raumzeit gleich ist, müssten in den Kommutierungsbeziehungen keine Deltafunktionen vorhanden sein!

ACuriousMind

Sie haben falsch verstanden, was ich (ungeschickt) mit "ändert sich nicht" gemeint habe. Ich werde versuchen, eine Antwort zu schreiben.

zzz

Ja, eine genaue Aussage dieser Invarianz in Bezug auf einen Zielvektorraum der Lorentz-Wiedergabe ist genau meine Frage.

Antworten (1)

Lorentzgruppendarstellungen in QFT: Was ist der Vektorraum?

Und ich bin es wieder, der an deiner Frage nörgelt ;) Was ist $U$ ? Sind Sie sicher, dass die Definition eines Repräsentanten nicht lautet: „Unter einer Lorentz-Transformation $x \mapsto \Lambda x$ , die Felder transformieren sich als $\phi(x) \mapsto R(\Lambda)\phi(\Lambda^{-1}x)$ ." ? (Natürlich auch $\phi(x)$ und $\phi(\Lambda^{-1}x)$ durch einen linearen Faktor verknüpft, ist der Faktor $1$ - ein Skalarfeld ändert sich nicht unter Lorentztrafos )
So wie ich es verstehe: $U$ transformiert $\phi$ als wäre es ein Operator auf einem Raum von Zuständen, $R$ transformiert $\phi$ als ob da was drin wäre $R$ 's Zielvektorraum. So $U$ ist eine Darstellung auf den Zustandsraum in der Feldtheorie, wo $R$ ist eine Darstellung auf eine Struktur, die die Felder einbezieht, und was genau diese Struktur ist, ist der Inhalt meiner Frage.
Nein $\phi(x)$ und $\phi(\Lambda^{-1}x)$ , im Allgemeinen verschiedene Operatoren sind, transformieren sich Skalare nicht in dem Sinne, dass die Form unveränderlich ist, nicht in dem Sinne, dass das Feld überall einen konstanten Wert hat. Wenn beispielsweise der Operatorwert des Feldes an jeder Koordinate in der Raumzeit gleich ist, müssten in den Kommutierungsbeziehungen keine Deltafunktionen vorhanden sein!
Sie haben falsch verstanden, was ich (ungeschickt) mit "ändert sich nicht" gemeint habe. Ich werde versuchen, eine Antwort zu schreiben.
Ja, eine genaue Aussage dieser Invarianz in Bezug auf einen Zielvektorraum der Lorentz-Wiedergabe ist genau meine Frage.

JoshPhysik · Answer 1

Wenn $\mathcal H$ ist dann der Hilbertraum der QFT

\begin{aligned} U : S Ö (3, 1) \to U (H) \end{aligned}

$\begin{align} U:\mathrm{SO}(3,1)\to \mathscr U(\mathcal H) \end{align}$ wo

U (H)

$\mathscr U(\mathcal H)$ ist die Menge der unitären Operatoren auf

H

$\mathcal H$ . Mit anderen Worten,

U

$U$ ist eine einheitliche Darstellung auf dem Hilbert-Raum der Theorie. Wenn

V

$V$ ist dann der Zielraum der Felder

\begin{aligned} R : S Ö (3, 1) \to G L (v), \end{aligned}

$\begin{align} R:\mathrm{SO}(3,1)\to \mathrm{GL}(V), \end{align}$ wo

G L (V)

$\mathrm{GL}(V)$ ist der Vektorraum der invertierbaren linearen Operatoren

V

$V$ . Mit anderen Worten,

R

$R$ ist eine Darstellung auf dem Zielraum der Felder in der Theorie. Die Kartierung

\begin{aligned} x \to Λ x \end{aligned}

$\begin{align} x\to \Lambda x \end{align}$ ist die definierende Darstellung von

S O (3, 1)

$\mathrm{SO}(3,1)$ an

R^{3, 1}

$\mathbb R^{3,1}$ . Die Aussage, dass sich das Feld auf eine bestimmte Weise transformiert, nämlich die Gleichung, die Sie aufgeschrieben haben, besagt einfach, dass die Wirkung durch Konjugation der Lorentz-Gruppe auf Feldoperatoren durch

U

$U$ stimmt mit der Zusammensetzung der Darstellung auf dem Zielraum und der Umkehrung der definierenden Darstellung überein.

Kannst du genauer sagen, was du anrufst? $V$ ? Meinst du mit „Zielraum der Felder“ „den Zielraum, der aus den Feldern besteht“?
@Bechira. Ja. Es ist einfach die Kodomäne der Funktion $\phi$ . Nämlich $\phi:\mathbb R^{3,1}\to V$ . Also zum Beispiel für Skalarfeld, $V = \mathbb R$ . Für ein Vektorfeld $V = \mathbb R^{3,1}$ . Für ein Tensorfeld des Ranges $(k,\ell)$ , $V = T^k_\ell(\mathbb R^{3,1})$ wobei diese letzte Notation nur den Vektorraum der Rangtensoren bedeutet $(k,\ell)$ an $\mathbb R^{3,1}$ .
Bitte beachten Sie das Update zu meiner Frage. Ich denke, in der klassischen Feldtheorie ist dies offensichtlich, meine Hauptsorge ist, ob dasselbe in einer Quantentheorie gilt.
Ich denke, in dieser Antwort haben Sie gerade gesagt, was ich in meinem ersten Kommentar im Kommentarbereich gesagt habe.
@bechira Ich glaube, ich verstehe deine Frage jetzt. Sie haben Recht, dass mein letzter Kommentar nur im klassischen Fall gilt. Im Quantenfall ist der Zielraum komplizierter, weil die Felder Operator-bewertet sind. Der eigentliche Zielraum wird dann zB ein Raum von Tensoroperatoren im Falle eines Tensorfeldes etc. sein. Die Formalisierung davon war Inhalt einer Frage, die ich selbst vor einiger Zeit gestellt habe und die Sie wahrscheinlich aufschlussreich finden werden. physical.stackexchange.com/questions/73532/tensor-operators
@bechira Ich sollte jedoch hinzufügen, dass obwohl die Werte der Felder etwas komplizierter sind, die gleiche Darstellung $R$ kann immer noch verwendet werden, um die Transformation des Zielraums zu beschreiben. Ich denke, der einfachste Weg, dies zu sehen, besteht darin, festzustellen, dass sich die Indizes von Tensoroperatoren auf einer bestimmten Basis auf die gleiche Weise wie die Indizes von Tensoren transformieren. Tatsächlich ist dies der springende Punkt bei Tensoroperatoren, nämlich dass sich ihre Indizes auf die gleiche Weise transformieren wie ihre "klassischen" Gegenstücke.
Ja, ich kann das Dienstprogramm sehen, ich mache mir Sorgen, ob ein solches vorhanden ist $R$ ist immer noch eine gültige Darstellung im üblichen Sinne.
@bechira Ja ist es. Es ist genau die gleiche Darstellung wie im klassischen Fall. Die Tatsache, dass die Felder operatorwertig sind, ändert nichts an der Tatsache, dass sich „die Indizes“ auf die angegebene Weise transformieren, nämlich gemäß der Darstellung, die auf den Zielraum der klassischen Felder wirkt.
Aber wirkt die Darstellung der Dimension N immer noch auf einen Vektorraum der Dimension N , wenn wir keine wohldefinierte "Skalarmultiplikation mit Feldern mit Operatorwerten" haben?
@joshphysics Ich liebe deine Beiträge immer, da du großartige Inhalte beisteuerst. Aber ich denke, Sie sind hier vielleicht etwas schlampig: was Sie " $\mathrm{Lin}(V)$ " ist nicht gerade die Codomain für eine Gruppendarstellung (sollte es sein $\mathrm{GL}(V)$ -- die Menge aller invertierbaren linearen Operatoren on $V$ ). Nur ein kleines Detail...
@AlexNelson Ich weiß das Lob und das genaue Lesen meiner Antworten sehr zu schätzen, um sicherzustellen, dass ich keine schlampigen Dinge mache. Glücklicherweise glaube ich in diesem Fall nicht, dass ich schlampig war. Denken Sie daran, dass die Codomain nur eine Obermenge des Bereichs sein muss. en.wikipedia.org/wiki/Codomain Trotzdem werde ich es ändern, weil $\mathrm{GL}(V)$ ist sicherlich informativer, da es sich um eine kleinere Codomain handelt.
@AlexNelson Übrigens, jetzt, wo wir diesen Lobpreiszug gestartet haben, denke ich genauso über deine Posts. Schön, dass du bei SE bist.

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