Die Ein-Teilchen-Zustände sowie die Felder in der Quantenfeldtheorie werden als Repräsentationen der Poincare-Gruppe betrachtet, zB Skalar-, Spinor- und Vektordarstellungen.
Gibt es ein systematisches Verfahren, bei dem man von der Dynkin-Bezeichnung für eine gegebene Darstellung ausgeht, um eine Lagrange-Funktion dieser Feldtheorie zu konstruieren? Wenn ja, wo finde ich dieses Verfahren?
Es ist mir egal, ob das Hinzufügen einer Interaktion durch Eichinvarianz von diesen Lagrangianern zu einer Nicht-Renormalisierbarkeit führt oder nicht. Ich kann mit effektiven Theorien leben.
Nicht alle irreduziblen Darstellungen (kurz irreps) der Poincaré-Gruppe führen zu einer Lagrange-Funktion. Ein Beispiel (siehe meinen Kommentar zu Julio Parras Antwort) sind die Darstellungen mit Nullmasse und "kontinuierlicher Helizität" (manchmal auch als "unendliche Helizität" bezeichnet).
Es gibt jedoch einen Weg, von einer positiven Energie irrep der Poincaré-Gruppe (dh einem 1-Teilchen-Raum) auszugehen und die Algebren freier (dh nicht wechselwirkender) lokaler Observablen direkt zu konstruieren, ohne auf eine Lagrange-Funktion zurückzugreifen. Es basiert auf Methoden, die aus Operatoralgebren stammen – siehe zum Beispiel R. Brunetti, D. Guido und R. Longo, Modular Localization and Wigner Particles , Rev. Math. Phys. 14 (2002) 759-786, arXiv:math-ph/0203021 .
Ich glaube nicht, dass es so etwas gibt. Normalerweise helfen Wiederholungen Ihnen nur dabei, die Art von Objekten zu klassifizieren, die Sie haben (dh die Quantenzahlen, die sie identifizieren) und wie sie sich unter der entsprechenden Gruppe verändern. Das einzige, was mir ähnlich ist, ist, dass einige der Wiederholungen der Poincare-Gruppe oder tatsächlich die Vektorräume, die sie tragen, eine Entsprechung mit dem Hilbert-Raum der Lösungen einer Wellengleichung haben
Spin 0 : Klein-Gordon-Gleichung
Spin 1/2 : Dirac-Gleichung
Spin 3/2 : Rarita-Schwinger
etc
und kann eine Lagrange-Funktion/Aktion konstruieren, die diese als Dynamik angibt.
QMechaniker