Ich ging die Memoiren von Rudolf Haag durch http://link.springer.com/article/10.1140%2Fepjh%2Fe2010-10032-4 und stieß auf diese Zeilen:
„…in der Quantenfeldtheorie (oder für jedes System wechselwirkender Teilchen) ist die Äquivalenzklasse der Darstellung der Poincaré-Gruppe unabhängig von der Wechselwirkung. Sie hängt nur von der Art der beschriebenen stabilen Teilchen ab und ist explizit bekannt. Dieses Ergebnis war auf den ersten Blick eher kontraintuitiv, da der Hamiltonoperator – der einer der Generatoren der Gruppe ist – einen Term enthält, der die Wechselwirkung charakterisiert. Dies ist jedoch auf die Wahl der Variablen zurückzuführen, in Bezug auf die der Hamilton-Operator geschrieben wird. Es ist kein rein gruppentheoretisches Merkmal.'
Es wäre hilfreich für mich, wenn jemand erklären kann, wovon er genau spricht, oder Hinweise darauf geben kann, wo dieses Ergebnis bewiesen/diskutiert wird. Haag verweist auf seine Notizen von 1954 – „Lecture Notes Copenhagen CERNT/RH1 53/54“. Aber das scheint online nicht verfügbar zu sein.
Für mich scheint die erste Aussage zu sagen, dass Darstellungen der Poincare-Gruppe durch Masse und Spin gekennzeichnet sind. Wenn ich also den Teilcheninhalt einer Wechselwirkungstheorie einschließlich gebundener Zustände kenne, kenne ich im Grunde die Darstellung. Ist das korrekt? Es ist der zweite Teil, mit dem ich nicht viel anfangen kann. Warum gibt es einen offensichtlichen Widerspruch? Verschiedene Wechselwirkungs-Hamiltonoperatoren enthalten die Information darüber, welche gebundenen Zustände existieren können und bestimmen dadurch die Darstellung, oder? Welche Rolle spielt „die Wahl der Variablen, anhand derer der Hamilton-Operator geschrieben wird“?
Es klingt für mich so, als würde er sagen, dass das Auftreten des Interaktionsterms im Hamiltonian auf unsere Wahl der Felder zurückzuführen ist, mit denen wir den Hamiltonian ausdrücken. Wenn wir stattdessen Felder wählen, die die gebundenen Zustände vernichten, sieht der 1-Teilchen-Sektor der Theorie offensichtlich genauso aus wie eine freie Theorie.
Es scheint ein Problem zu geben, dies mit Zuständen zu tun, die viele interagierende Teilchen beschreiben, aber in Bezug auf die Poincare-Gruppe müssen diese nur als reduzierbare Darstellungen beschrieben werden. Wir können also die Interaktionstheorie mit asymptotischen In- und Out-Zuständen vieler Teilchen beschreiben, die sich wie eine freie Theorie unter der Poincare-Gruppe transformieren.
Die Dynamik ist immer noch da, aber jetzt ist sie in der Transformation von In- zu Out-Zuständen (der S-Matrix) anstelle des Hamilton-Operators verborgen.
Nehmen Sie für einen Moment jedes Vorurteil über die Antwort auf die Frage „Was ist ein Teilchen?“ weg; QM gibt uns eine präzise Antwort. Wir wissen, dass die Gesetze der Physik unter der Poincare-Gruppe unveränderlich sein sollten. Da diese Gruppe definiert, wie Poincaré-Transformationen auf klassische Objekte (Tensoren) wirken, müssen wir sie als einheitliche Darstellungen implementieren, die auf einem Hilbert-Raum wirken, um herauszufinden, wie sie auf Quantenobjekte (Vektoren im Hilbert-Raum) wirken. Die Lie-Algebra-Struktur dieser Gruppe lässt zwei Casimir-Invarianten zu, deren Werte die irreduziblen Darstellungen der Gruppe indizieren. Eine weitere Analyse der physikalischen Bedeutung der Kasimire ergibt, dass einer von ihnen der (Quadrat des) Ruhemassenoperators ist und der andere eine Art intrinsischer Drehimpuls ist, der nichts mit der Bewegung des Teilchens zu tun hat; nennen wir es Spin (oder Helizität,
In Anbetracht dessen, dass die Gruppe der Poincaré-Transformationen den Vektorraum ihrer irreduziblen Darstellung unverändert lässt, sind wir nun in der Lage zu beantworten, was ein Teilchen ist. Unter der Annahme, dass Poincare-Transformationen die Identität eines Teilchens invariant lassen sollten, leiten wir aus dem obigen Argument ab, dass die Menge der zulässigen Ein-Teilchen-Hilbert-Räume genau die irreduziblen Darstellungen der Poincare-Gruppe sein soll. In jeder solchen Darstellung ist die Ruhemasse unveränderlich, wie es sein sollte, ebenso wie diese Spin- (oder Helizitäts-) Sache.
Sie sehen nun, wie wir durch das Auferlegen des Poincare-Invarianzprinzips (das Wesen der speziellen Relativitätstheorie) in die QM die Antwort erhalten, was ein einzelnes Teilchen ist und welche Eigenschaften es hat. Die Identität des Teilchens ist also als ein Paar möglicher Werte der Invariante definiert. Daher ja, wenn Sie den Partikelgehalt kennen, kennen Sie per Definition die Darstellung.
Nun, wie oben erwähnt, ist es die Struktur der Poincare-Algebra, die (die Kasimire und damit) die Menge der zulässigen Teilchen und ihre Eigenschaften bestimmt. Diese Struktur wird durch das Kompositionsgesetz der Poincaré-Transformationen bestimmt. Der Hamilton-Operator ist in der Poincare-Algebra als Generator zeitlicher Übersetzungen enthalten. Daher hängt seine Rolle in der Struktur der Poincare-Algebra nicht davon ab, wie Sie den Hamilton-Operator implementieren, indem Sie ihn explizit als formale Funktion einiger Variablen definieren, da die Struktur durch die Eigenschaften der Raumzeit (und insbesondere von wie sich Poincaré-Transformationen zusammensetzen).