Können die endlichdimensionalen irreduziblen (j+,j−)(j+,j−)(j_+,j_-) Darstellungen der Lorentzgruppe SO(3,1)SO(3,1)SO(3,1) unitär sein?

Die Aussage "Nicht-kompakte Gruppen haben keine endlichdimensionalen einheitlichen Darstellungen" ist eine Heuristik , keine Tatsache.$(\mathbb{R},+)$ist eine nicht kompakte Lie-Gruppe, die nicht-triviale endlichdimensionale einheitliche Darstellungen hat. Die Poincaré-Gruppe und die Lorentz-Gruppe haben jedoch wirklich keine endlichdimensionalen einheitlichen Darstellungen.

Ihre Konstruktion scheitert an der Komplexifizierung$\mathfrak{so}(1,3)_\mathbb{C}$ist nur isomorph zur Komplexbildung $(\mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2))_\mathbb{C}$, nicht zur echten Lügengruppe. Sie haben eine einheitliche Darstellung von gefunden$\mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2)$selbst, aber dies gibt Ihnen weder eine einheitliche Darstellung der Komplexität noch von$\mathfrak{so}(1,3)$.

Wir kümmern uns um diese endlichdimensionalen Darstellungen von$\mathrm{SO}(1,3)$auch wenn sie nicht einheitlich sind, weil dies die Repräsentationen auf den Zielräumen von Feldern sind. Die Darstellung, die einheitlich sein muss, ist die Darstellung auf dem Quantenraum von Zuständen , aber nicht auf dem Zielraum von Feldern. Anschaulich transformiert sich ein Vektorfeld in die "Standard"-Darstellung$\mathrm{SO}(1,3)$und kümmert sich nicht darum, dass es nicht einheitlich ist, weil der Zielraum es ist$\mathbb{R}^{1,3}$was nicht einmal ein komplexer Vektorraum ist! Es gibt kein "Problem" mit diesen Darstellungen, sie sind einfach nicht die Darstellungen, die wir auf dem Hilbert-Raum von Zuständen benötigen, die projektive Darstellungen von sind$\mathrm{SO}(1,3)$, die einheitlichen linearen Darstellungen von entsprechen$\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$, seine universelle Abdeckung. Weitere Informationen zur Notwendigkeit der projektiven Darstellung finden Sie in diesem Q&A von mir .

$SO(1,3)$eine echte Lie-Gruppe ist, also ist ihre Lie-Algebra auch reell, Sie dürfen keine Generatoren mit komplexen Koeffizienten kombinieren, wenn Sie nach einer Darstellung dieser Gruppe suchen. Bezugnehmend auf die (nicht einheitliche) fundamentale Darstellung aus$4 \times 4$echte Matrizen, die Sie betrachten,$N_i^\pm$gehört nicht zur eigentlichen Lie-Algebra$SO(1,3)$. Potenzieren reeller Linearkombinationen von$N_i^\pm$Sie erhalten tatsächlich eine einheitliche Darstellung einer Gruppe. Die Gruppe leider nicht$SO(1,3)$.

Die Verwendung komplexer Erweiterungen der Lie-Algebra von$SO(1,3)$Hilfreich ist jedoch bei der Einordnung der Darstellungen der eigentlichen reellen Lie-Algebra$SO(1,3)$, da die Klassifizierung aller komplexen Darstellungen auch eine Klassifizierung der reellen Darstellungen beinhaltet, und die komplexe Lie-Algebra von$SO(1,3)$ist isomorph zu einer direkten Summe eines Paares von Lie-Algebren von$SU(2)$dessen Theorie relativ einfach ist.

Unitarität ist in der Quantentheorie aufgrund des Satzes von Wigner erforderlich, der feststellt, dass alle Symmetrien durch unitäre oder anti-unitäre Operatoren dargestellt werden, die die Zustände eines Quantensystems in einem Hilbert-Raum darstellen.

Tatsächlich ist das Problem aufgrund des Auftretens von Phasen komplizierter (reine Zustände werden als Einheitsvektoren bis hin zu Phasen definiert), die das Zusammensetzungsgesetz der Poincaré-Gruppe zerstören können (eine zentrale Erweiterung ist erforderlich). Ein Satz von Bargmann beweist jedoch, dass die Poincaré-Gruppe von diesem Problem nicht betroffen ist.