Warum werden Ein-Teilchen-Zustände irreduzible Darstellungen der Poincaré-Gruppe genannt?

Die Ein-Teilchen-Zustände im Hilbert-Raum einer quantisierten relativistischen Feldtheorie sollen irreduzible Darstellungen der Poincaré-Gruppe bilden. Warum das? Ich meine, populäre Texte in QFT konstruieren keine explizite Darstellung, sondern sagen einfach, dass Ein-Teilchen-Zustände Darstellungen sind. Ist das so offensichtlich? Wenn nicht, wie kann man verstehen/sicherstellen, dass sie tatsächlich eine irreduzible Darstellung der Poincaré-Gruppe bilden?

BEARBEITEN: Außerdem sollen Ein-Teilchen-Zustände die irreduziblen Darstellungen der Poincaré-Gruppe sein. Bedeutet dies, dass jede Darstellung, die durch eindeutige Werte von Casimir-Invarianten gekennzeichnet ist, irreduzibel ist?

Die allgemeine Idee ist, dass jede Darstellung der Poincare-Gruppe mit einem Paar gekennzeichnet werden kann ( M , S ) , wobei jede der beiden Variablen bestimmten Bedingungen unterliegt, die uns dazu veranlassen, sie als Masse und Spin zu lesen. Das vollständige Argument ist komplexer, aber das ist irgendwie der Ausgangspunkt.
@Gennaro Tedesco - meinen Sie, dass die Ein-Teilchen-Zustände, da sie durch Eigenwerte der Casimir-Operatoren gekennzeichnet sind, zur Darstellung der Poincare-Gruppe gehören?
Ja, das tue ich (das gesamte Argument ruft die Casimir-Operatoren auf, wie Sie darauf hingewiesen haben).
Beachten Sie, dass in einigen Quellen Felder, die explizit irreduzible Darstellungen der Poincare-Gruppe darstellen, explizit konstruiert sind.

Antworten (1)

Dies wird ausführlich in Weinbergs Buch über die Quantenfeldtheorie (Band I, Kapitel 2) beantwortet.

Relativistische Invarianz bedeutet Translationsinvarianz und Lorentz-Invarianz, also - offensichtlich - Poincare-Invarianz, so dass man eine Repräsentation der Poincare-Gruppe hat. Aufgrund relativistischer Invarianz und Einheitlichkeit trägt der Hilbert-Raum einer QFT eine einheitliche Darstellung der Poincare-Gruppe und spaltet sich (wie jede einheitliche Darstellung) in eine direkte Summe irreduzibler auf. Irreduzibel zu sein bedeutet, nicht weiter teilbar zu sein, also elementar . Man kann sie klassifizieren und stellt fest, dass sie einzelne relativistische Teilchen beschreiben, also Elementarteilchen .

Irreduzible Darstellungen haben konstante Casimirs, aber die Werte der Konstanten charakterisieren nicht immer die irrep. Insbesondere haben alle masselosen irreduziblen Darstellungen der Poincare-Gruppe die gleichen Werte für die Kasimire, können sich jedoch in der Helizität unterscheiden.

Warum werden Ein-Teilchen-Zustände irreduzible Darstellungen der Poincaré-Gruppe genannt?
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