Lorentz-Algebra-Darstellung und QFT

Question

Lorentz-Algebra-Darstellung und QFT

Physik
Gruppentheorie
Lorentz-Symmetrie
Quantenmechanik
Quantenfeldtheorie
Gruppendarstellungen

Quantisierung

Ich habe nur Probleme, eine vollständige Analogie zwischen der Lorentz-Algebra-Darstellung in der Quantenfeldtheorie (QFT) und der SU(2)-Darstellung in der Quantenmechanik (QM) herzustellen.

Um meinen Standpunkt zu verdeutlichen, werde ich einige Dinge schreiben, die meiner Meinung nach im Fall von QM zutreffen. Wir beginnen zunächst mit der Betrachtung der Rotationsmatrizen in der Klassischen Mechanik, dargestellt durch Matrizen $R \in SO(3)$ .

Dann ordnen wir unitäre Matrizen mit zu $R$ , $D(R)$ , und diese Matrizen bilden sich $SU(2)$ Gruppe. Nun schauen wir uns die Algebra von an $SU(2)$ grundlegende Vertauschungsbeziehungen zwischen den Generatoren von zu finden $D(R)$ , nämlich

[J_{ich}, J_{J}] = ich ϵ_{ich J k} J_{k}

$[J_i,J_j] = i\epsilon_{ijk}J_k$

Dann suchen wir nach verschiedenen Darstellungen dieser Generatoren, die durch unterschiedliche Drehimpulse gekennzeichnet sind (was die Dimension des Vektorraums definiert, in dem Generatoren wirken).

Die Darstellung, die wir verwenden, gibt dann auch einen expliziten Ausdruck für unsere unitären Matrizen $D(R)$ von

D (R) = \exp (\frac{ich \vec{J} \cdot \hat{N}}{ℏ}) .

$D(R) = \exp(\frac{i\vec{J}\cdot\hat{n}}{\hbar}).$

Außerdem kann ich Vektoren und Tensoren durch diese einheitliche Matrix definieren, $D(R)$ . Zum Beispiel Vektor $V_i$ verwandelt sich durch

D (R)^{- 1} v^{ich} D (R) = R_{J}^{ich} v^{J} .

$D(R)^{-1} V^i D(R) = R_{\:j}^i V^j.$

Nun möchte ich den Fall von QFT mit der Lorentz-Gruppe ähnlich verstehen. (Ich verfolge derzeit den QFT-Text von Srednicki).

Ich beginne mit Lorentz-Matrizen $\Lambda$ , und verbinden Sie es mit unitären Matrizen, $U(\Lambda)$ . Ich habe eine ähnliche Definition von 4-Vektor in QFT wie in QM:

U (Λ)^{- 1} v^{ich} U (Λ) = Λ_{J}^{ich} v^{J} .

$U(\Lambda)^{-1} V^i U(\Lambda) = \Lambda_{\:j}^i V^j.$

Ich kann auch die Generatoren von definieren $U(\Lambda)$ , $M^{\mu\nu}$ , und leiten seine fundamentalen Vertauschungsbeziehungen ab,

[M^{μ v}, M^{ρ σ}] = \dots .

$[M^{\mu\nu},M^{\rho\sigma}]=\cdots.$

Nun, in vollständiger Analogie zu QM, erwarte ich eine Darstellung von $M^{\mu\nu}$ und die Vertretung von $U(\Lambda)$ durch Potenzieren $M^{\mu\nu}$ .

Aber stattdessen fahren wir fort, indem wir nach der Darstellung von suchen $\Lambda$ , anstatt $U(\Lambda)$ wie im QM. Was zum Beispiel die linke Weyl-Spinor-Darstellung betrifft, so finde ich Darstellung $L(\Lambda)$ :

U (Λ)^{- 1} ψ_{A} (X) U (Λ) = L_{A}^{B} (Λ) ψ_{B} (Λ^{- 1} X) .

$U(\Lambda)^{-1} \psi_a(x) U(\Lambda) = L_a^{\:b}(\Lambda) \psi_b(\Lambda^{-1} x).$

Jetzt habe ich einen Generator $S_L$ (was jetzt nicht unbedingt hermitesch sein muss (im Gegensatz zu QM) ), was gibt $L(\Lambda)$ bei Potenzierung (anstatt $U(\Lambda)$ (im Gegensatz zu QM) ).

Ich bekomme keinen expliziten Ausdruck (im Gegensatz zu QM) für $U(\Lambda)$ , also weiß ich nicht, was ich von ihnen oder ihren Generatoren halten soll $M^{\mu\nu}$ . Ich bekomme zum Beispiel Ausdrücke, die beides beinhalten $M^{\mu\nu}$ Und $S_L^{\mu\nu}$ ( (während in QM, da ich nach einer Darstellung von gesucht habe $D(R)$ (statt $R$ ), Menge analog zu $M^{\mu\nu}$ Und $S_L^{\mu\nu}$ waren das gleiche) ).

Ich weiß, dass es keine endliche einheitliche Darstellung der Lorentz-Algebra gibt, also denke ich, dass dies das fehlende Stück in meinem Verständnis sein muss. Ich würde gerne eine vollständige Analogie zu QM herstellen, könnte mir bitte jemand helfen?

Danke schön.

ACuriousMind

Wenn Sie wissen, dass es keine endlichdimensionale Einheitsrepräsentanz der Lorentz-Gruppe gibt, nach welchem fehlenden Teil suchen Sie dann? Was ist Ihre konkrete Frage ? (Sie scheinen durch die Tatsache verwirrt zu sein, dass es in QFT zwei "gleichzeitige" Darstellungen der Lorentz-Gruppe gibt. Diejenigen, die direkt auf die (klassischen) Felder als endlichdimensionale Darstellungen wirken (Ihre

L (λ)

$L(\lambda)$ ) und die einheitlichen Darstellungen auf den Hilbert-Zustandsräumen, unter denen sich die Felder als Operatoren transformieren (durch Ihre

U Λ

$U\Lambda$ ). Sie erhalten keine vollständige Analogie zum QM, weil dies im QM nicht vorkommt.

ACuriousMind

Deine Definition eines "Vektors" ist auch schon im QM-Fall weg - ist

V^{i}

$V^i$ ein Vektor unter Rotation ist, transformiert er sich als

V \mapsto D (R) V

$V\mapsto D(R) V$ , oder in Komponenten,

V^{i} \mapsto D (R)_{j}^{i} V^{j}

$V^i \mapsto D(R)^i_j V^j$ . Dass in QFT die "Operatortransformation"

U (λ) ϕ U (λ)^{†}

$U(\lambda)\phi U(\lambda)^\dagger$ und die "Vektortransformation"

ϕ \mapsto L (Λ) ϕ

$\phi\mapsto L(\Lambda)\phi$ Koinzidenz ist eines der Wightman-Axiome.

Quantisierung

@ACuriousMind: Ja, darüber bin ich verwirrt. Wollen Sie sagen, dass die rechte Seite (endlich dimensionale Darstellung) kein endlich dimensionaler "Hilbert" -Raum ist? So

ψ_{a} (x)

$\psi_a(x)$ hat eine unendlich dimensionale Darstellung im Hilbert-Raum und eine endlich dimensionale Darstellung im klassischen Vektorraum? Sie sagen auch, das Wightman-Axiom sagt uns, ob ich eine explizite unendlich dimensionale Darstellung von finde

ψ_{a} (x)

$\psi_a(x)$ Und

U (Λ)

$U(\Lambda)$ , linke Seite wird genau das gleiche Ergebnis liefern? Danke ACuriousMind!

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Lorentz-Algebra-Darstellung und QFT

Wenn Sie wissen, dass es keine endlichdimensionale Einheitsrepräsentanz der Lorentz-Gruppe gibt, nach welchem fehlenden Teil suchen Sie dann? Was ist Ihre konkrete Frage ? (Sie scheinen durch die Tatsache verwirrt zu sein, dass es in QFT zwei "gleichzeitige" Darstellungen der Lorentz-Gruppe gibt. Diejenigen, die direkt auf die (klassischen) Felder als endlichdimensionale Darstellungen wirken (Ihre $L(\lambda)$ ) und die einheitlichen Darstellungen auf den Hilbert-Zustandsräumen, unter denen sich die Felder als Operatoren transformieren (durch Ihre $U\Lambda$ ). Sie erhalten keine vollständige Analogie zum QM, weil dies im QM nicht vorkommt.
Deine Definition eines "Vektors" ist auch schon im QM-Fall weg - ist $V^i$ ein Vektor unter Rotation ist, transformiert er sich als $V\mapsto D(R) V$ , oder in Komponenten, $V^i \mapsto D(R)^i_j V^j$ . Dass in QFT die "Operatortransformation" $U(\lambda)\phi U(\lambda)^\dagger$ und die "Vektortransformation" $\phi\mapsto L(\Lambda)\phi$ Koinzidenz ist eines der Wightman-Axiome.
@ACuriousMind: Ja, darüber bin ich verwirrt. Wollen Sie sagen, dass die rechte Seite (endlich dimensionale Darstellung) kein endlich dimensionaler "Hilbert" -Raum ist? So $\psi_a(x)$ hat eine unendlich dimensionale Darstellung im Hilbert-Raum und eine endlich dimensionale Darstellung im klassischen Vektorraum? Sie sagen auch, das Wightman-Axiom sagt uns, ob ich eine explizite unendlich dimensionale Darstellung von finde $\psi_a(x)$ Und $U(\Lambda)$ , linke Seite wird genau das gleiche Ergebnis liefern? Danke ACuriousMind!

ACuriousMind · Answer 1

Die Verwirrung entsteht hier, weil wir hier nicht vollständig analog zu nicht-relativistischer QM sind.

Gegeben sei ein (Quanten- oder klassisches) Feld $\phi$ , geben wir normalerweise an, ob es sich um ein "Skalar", "Spinor", "Tensor" oder was auch immer handelt. Dies bezieht sich auf eine endlichdimensionale Darstellung $\rho_\text{fin}$ der Lorentz-Gruppe transformiert sich das Feld als Element in :

ϕ \overset{Λ}{\mapsto} ρ_{Flosse} (Λ) ϕ

$\phi \overset{\Lambda}{\mapsto} \rho_\text{fin}(\Lambda)\phi$ Aber gleichzeitig ist das Quantenfeld ein Operator auf dem Hilbert-Raum der Theorie, und auf dem Hilbert-Raum muss es eine einheitliche Darstellung geben

U

$U$ . Genauer gesagt, jede Komponente

ϕ^{μ}

$\phi^\mu$ des Quantenfeldes ist ein Operator und transformiert sich daher wie Operatoren :

ϕ^{μ} \overset{Λ}{\mapsto} U (Λ) ϕ^{μ} U (Λ)^{†}

$\phi^\mu \overset{\Lambda}{\mapsto} U(\Lambda)\phi^\mu U(\Lambda)^\dagger$ Es ist jetzt eines der Wightman-Axiome , dass

U (Λ) ϕ U (Λ)^{†} = ρ_{Flosse} (Λ) ϕ

$U(\Lambda)\phi U(\Lambda)^\dagger = \rho_\text{fin}(\Lambda)\phi$ oder in Komponenten

U (Λ) ϕ^{μ} U (Λ)^{†} = ρ_{Flosse} (Λ)_{v}^{μ} ϕ^{v}

$U(\Lambda)\phi^\mu U(\Lambda)^\dagger=\rho_\text{fin}(\Lambda)^\mu_\nu\phi^\nu$ Durch diese Annahme reicht es aus, die endlichdimensionale Darstellung des Quantenfelds anzugeben, um auch die begleitende einheitliche Darstellung auf dem unendlichdimensionalen Hilbert-Raum zu fixieren, auf dem es ein Operator ist. Die unendlichdimensionalen Darstellungen werden durch Wigners Klassifikation durch ihre Masse und Spin/Helizität charakterisiert. Da die endlichdimensionalen Darstellungen auf den Feldern auch durch Spins gekennzeichnet sind, fixieren die Masse (aus dem kinetischen Term des Feldes) und der Spin des Feldes (aus seiner endlichdimensionalen Darstellung) die einheitliche Darstellung, in die sich die von ihr erzeugten Teilchen verwandeln .

All dies wird oft unter den Teppich gekehrt, denn für das Lorentz-invariante Vakuum $\lvert\Omega\rangle$ , wir haben

ϕ | Ω ⟩ \overset{Λ}{\mapsto} ρ_{Flosse} (Λ) ϕ | Ω ⟩

$\phi \lvert \Omega \rangle \overset{\Lambda}{\mapsto} \rho_\text{fin}(\Lambda) \phi \lvert\Omega\rangle$ Die Kenntnis der endlichdimensionalen Darstellung reicht also aus, um zu wissen, wie alle Zustände, die das Feld aus der Vakuumtransformation erzeugt, und da die Fock-Räume vollständig aus solchen Zuständen aufgebaut sind, ist dies das gesamte praktische Wissen über die einheitliche Darstellung, das normalerweise benötigt wird.

Danke für deine Antwort! Könnten Sie möglicherweise auf den folgenden Punkt eingehen? > Durch diese Annahme reicht es aus, die endlichdimensionale Darstellung des Quantenfeldes anzugeben, um auch die begleitende einheitliche Darstellung auf dem unendlichdimensionalen Hilbert-Raum zu fixieren, auf dem es ein Operator ist. Dh wie genau "repariert" dies die begleitende einheitliche Darstellung?
@balu Tatsächlich wird die entsprechende einheitliche Darstellung dadurch nicht vollständig festgelegt - eine einheitliche Darstellung wird gemäß Wigners Klassifizierung eindeutig durch Masse und Spin bestimmt. Der Spin wird durch die endlichdimensionale Lorentz-Darstellung bestimmt, aber die Masse ist ein zusätzlicher Parameter, den das Feld (oder besser gesagt die Lagrange-Funktion) mit sich führt.
WOW das ist wunderbar! Wir sprechen also im Grunde von zwei verschiedenen Darstellungen gleichzeitig? Eine, in der das Feld selbst der zu bearbeitende Vektorraum ist, und eine, in der das Feld auf dem zugehörigen Hilbert-Raum operiert?
Schwartz 'Buch über QFT sagte, wir brauchen unendlich dimensionale Darstellungen, und ich habe mich ewig gefragt, wie zB. Eine (1/2, 0)-Darstellung ist unendlich dimensional, wenn sie 4-dimensional ist. Das ist also der Schlüssel dazu?

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