Ich lese einige einführende Dinge zur Darstellungstheorie, die auf die Physik angewendet wird, und bin über einige Dinge etwas verwirrt. Das Buch, das ich benutze, ist Lie Algebra in Particle Physics von Georgi (Sie können es hier finden ) und der Teil, in dem ich verwirrt war, ist Teil 1.16, wo er die normalen Modi für 3 Teilchen findet, die durch Federn verbunden sind und ein Dreieck bilden. Ich möchte also verstehen, wie das alles funktioniert.
Soweit ich verstanden habe, finden Sie die Symmetrie des Systems und wählen die richtigen Dimensionen für die Darstellung (in diesem Fall 6D und S3). Dann erhält man die Charaktere der Matrizen in dieser Darstellung und berechnet die Projektoren auf den Raum irreduzibler Darstellungen. Jetzt bin ich etwas verloren. Wie erhält man die Normalmoden (oder allgemein die Eigenvektoren, die einer bestimmten irreduziblen Darstellung von den Projektoroperatoren zugeordnet sind). Für die mit der 1D-Darstellung verbundenen Projektionsoperatoren verstehe ich es, da sie nur das Produkt zwischen dem Spalten- und dem Zeilenvektor sind, das den Raum dieser Darstellung überspannt. Aber für Projektoren auf höherdimensionale Darstellungen bin ich ziemlich verloren.
Außerdem bin ich mir nicht sicher, ob ich verstehe, was ich tun muss, wenn dieselbe Darstellung mehrmals erscheint. Warum haben wir nur einen Projektionsoperator für beide? Die 6D-Vektoren (in diesem Fall), die den Raum bilden, auf den jeder von ihnen einwirkt, sind unterschiedlich. Ich würde mich also sehr freuen, wenn mir jemand eine klarere Erklärung für all dies geben könnte. Danke schön!
Der erste Schritt besteht darin, in jedem Irrep einen beliebigen Vektor zu erhalten , und genau das können die Projektoren für Sie tun. Wenn das Irrep eindimensional ist, reicht dies aus, aber wie Sie betonen, reicht der Zeichenprojektor nicht aus, um die Berechnung abzuschließen, wenn das Irrep eine größere Dimension hat.
Wenn Sie einen Zustand im Irrep der Dimension größer als 1 haben, müssen Sie auf diesen Zustand mit den verbleibenden Elementen der Gruppe einwirken, um alle Vektoren im Raum zu erzeugen, und aus diesen Vektoren eine orthonormale Basis konstruieren. Es ist wichtig, dass Sie mit Gruppenbetreibern zusammenarbeiten, da diese Sie garantiert nicht außerhalb Ihrer Irrep führen.
Um nun Eigenvektoren zu erhalten, müssen Sie Operatoren zum Diagonalisieren auswählen. Wenn der irrep 1-d ist, ist das automatisch, da alle Operatoren durch Multiplikation handeln. Für die -Dimension unabhängig von Sie müssen eine Teilmenge von gegenseitig kommutierenden Operatoren auswählen, um seither Eigenvektoren zu erhalten ist nicht abelsch. Die pendelnden Betreiber werden in der Regel als Identität und genommen : Sie haben ein unterschiedliches Spektrum, daher reicht es aus, die gemeinsamen Eigenvektoren zu erhalten. (Dieser Teil ist aus der Diskussion in Georgi äußerst unklar; ich müsste das Ganze lesen, um die Notation in den Griff zu bekommen.)
Der Projektionsoperator hängt allein von den Irreps ab und nicht von ihren Multiplizitäten. Infolgedessen gibt Ihnen der Projektionsoperator einen Basiszustand in einem Irrep, aber es reicht nicht immer aus, alle Basiszustände zu erhalten, insbesondere wenn mehrere Irreps vorhanden sind. Es ist normalerweise besser, durch Diagonalisierung vorzugehen und erneut eine Menge von Pendeloperatoren auszuwählen. Wenn Sie mehrere Kopien eines irrep haben, haben Sie degenerierte Eigenwerte; der entartete Unterraum hat die gleiche Dimension wie die Vielheit der Eigenwerte, da die Darstellung einer unitären Darstellung äquivalent ist. Wie bei allen Problemen mit Entartungen gibt es keine eindeutige Möglichkeit, Eigenvektoren auszuwählen. Eine Möglichkeit besteht darin, einen ersten Vektor auszuwählen, der vom Projektor erhalten wird, aber das ist nicht immer eine gute Wahl:
Wie auch immer, nachdem Sie einen Eigenvektor in jedem Irrep konstruiert und sichergestellt haben, dass diese Anfangsvektoren orthogonal sind, können Sie dann fortfahren und die anderen in demselben Irrep einen Irrep nach dem anderen konstruieren, indem Sie auf den Anfangsvektor dieses Irreps unter Verwendung der Gruppenelemente einwirken. So wird garantiert, dass Sie nicht aus dem Irrep herauskommen.
Wenn es um die Permutationsgruppe geht, gibt es natürliche Untergruppenketten und "Tricks" mit Klassenoperatoren: Die gute Referenz dafür ist der Text von Chen, Ping und Wang. Es gibt auch die Methode der Young-Symmetrisierer, die für jeden Irrep funktioniert; Einzelheiten finden sich im Text von Wu-Ki Tung.