Zwei verschiedene Transformationsgesetze für Quantenfelder

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Zwei verschiedene Transformationsgesetze für Quantenfelder

jak

In einem Vorlesungsskript fand ich eine nette Antwort auf ein Problem, das mich schon länger beschäftigte (leider auf deutsch). Der erste Schritt der Antwort bleibt mir unklar. Das Skript besagt, dass die Transformation eines Quantenfeldes $\phi$ kann auf zwei verschiedene Arten geschrieben werden:

1) ϕ \to e^{ich a_{A} T_{A}} ϕ

$1) \qquad \phi \rightarrow e^{i\alpha_a T_a} \phi$

mit den Generatoren einer SU(N)-Symmetriegruppe $T_a$ Und

2) ϕ \to e^{ich a_{A} Q_{A}} ϕ e^{- ich a_{A} Q_{A}},

$2) \qquad \phi \rightarrow e^{i \alpha_a Q_a} \phi e^{-i \alpha_a Q_a},$

Wo $Q$ bezeichnet die Noether-Ladung. Betrachten wir infinitesimale Transformationen, die wir haben

a_{A} T_{A} Φ = [a_{A} Q_{A}, Φ]

$\alpha_a T_a \Phi = [\alpha_a Q_a,\Phi]$

Dies kann verwendet werden, um zu zeigen, dass die beiden Kriterien für spontane Symmetriebrechung:

ICH $Q_a |0> \neq 0$

II $<0|\phi |0>\neq 0$

aufeinander folgen.

Ich meine, das Vakuum ist unter dieser Symmetrie nicht invariant, weil $Q |0> \neq 0 \rightarrow e^{i Q} |0> \neq |0>$ . Und II bedeutet ein skalares Feld, bei dem ein nicht verschwindender Vakuum-Erwartungswert existiert.

Mein Problem ist zu verstehen, warum es zwei verschiedene Transformationsgesetze gibt $\phi$ , einer, der die Noether-Ladung verwendet, und einer, der die Generatoren verwendet. Ich dachte immer, dass wir in QFT diese beiden miteinander identifizieren: $Q \leftrightarrow T$ (Für einen Beweis siehe zum Beispiel diese Frage: Zusammenhang zwischen Erhaltungsladung und dem Generator einer Symmetrie )

Nikos M.

Wenn ich mich nicht irre, ist 1) eine lokale Transformation, während 2) eine globale ist (zumindest gibt es diesen Unterschied auch in den 2 Beispielen, die Sie geben).

T

$T$ sind die Generatoren der Infinitesinalgruppe von Lie, während

Q

$Q$ ist die Gesamtgebühr

jak

Vielen Dank für Ihren Kommentar. Ich habe es in der Frage geändert, um Verwirrung zu vermeiden. In den Notizen erwägen sie eine globale Transformation

Nikos M.

okay, immer noch

T

$T$ stellt die infinitesimalen Lie-Gruppengeneratoren dar,während

Q

$Q$ stellt die gesamte Gesamtladung dar

Nikos M.

Nach der letzten Bearbeitung sehe ich keinen Unterschied, beides

T

$T$ Und

Q

$Q$ sind nur unterschiedliche Darstellungen derselben Lie-Algebra von Gruppengeneratoren

jak

Es sieht so aus, ist aber keine Darstellung einer Abbildung (Homomorphismus) auf den Raum linearer Operatoren über einem Vektorraum:

L i n (V)

$Lin(V)$ . Daher spezifizieren wir einmal den Vektorraum

ϕ

$\phi$ wohnt, wissen wir, welche Darstellung wir darauf ausüben müssen. Zwei Transformationsgesetze, würde bedeuten

ϕ

$\phi$ gleichzeitig in zwei Vektorräumen lebt...?!

Nikos M.

nicht notwendigerweise, da die Repräsentationen Repräsentationen auf demselben Raum sind. Man kann verschiedene Darstellungen desselben Raums verwenden, und alle diese sind durch die Lie-Algebra miteinander verbunden. Sth wie die Darstellung derselben Matrix bei einer Koordinatentransformation.

jak

Ich habe nie davon gehört. Wenn zum Beispiel

ϕ

$\phi$ lebt im Tangentialraum an der Identität der Gruppe (= die Lie-Algebra), wirkt die Gruppe auf Elemente dieses Vektorraums als

g ϕ g^{- 1}

$g \phi g^{-1}$ (und die Generatoren als

[T_{a}, Φ]

$[T_a,\Phi]$ , die als adjungierte Darstellung bezeichnet wird und der Transformation entspricht

2)

$2)$ von oben. Wie kann die Gruppe auf andere Weise auf diesen Vektorraum einwirken?

Nikos M.

hm, ich bin mir nicht sicher. beide

T

$T$ Und

Q

$Q$ sollte gleich sein. Sehe da keinen Unterschied. Außerdem wird auf andere Weise nicht auf den Raum eingewirkt, das Einwirken erfolgt durch die Lie-Algebra. Das Problem sind die Darstellungen der Operatoren in Ihrer Frage.

Antworten (1)

Zwei verschiedene Transformationsgesetze für Quantenfelder

Wenn ich mich nicht irre, ist 1) eine lokale Transformation, während 2) eine globale ist (zumindest gibt es diesen Unterschied auch in den 2 Beispielen, die Sie geben). $T$ sind die Generatoren der Infinitesinalgruppe von Lie, während $Q$ ist die Gesamtgebühr
Vielen Dank für Ihren Kommentar. Ich habe es in der Frage geändert, um Verwirrung zu vermeiden. In den Notizen erwägen sie eine globale Transformation
okay, immer noch $T$ stellt die infinitesimalen Lie-Gruppengeneratoren dar,während $Q$ stellt die gesamte Gesamtladung dar
Nach der letzten Bearbeitung sehe ich keinen Unterschied, beides $T$ Und $Q$ sind nur unterschiedliche Darstellungen derselben Lie-Algebra von Gruppengeneratoren
Es sieht so aus, ist aber keine Darstellung einer Abbildung (Homomorphismus) auf den Raum linearer Operatoren über einem Vektorraum: $Lin(V)$ . Daher spezifizieren wir einmal den Vektorraum $\phi$ wohnt, wissen wir, welche Darstellung wir darauf ausüben müssen. Zwei Transformationsgesetze, würde bedeuten $\phi$ gleichzeitig in zwei Vektorräumen lebt...?!
nicht notwendigerweise, da die Repräsentationen Repräsentationen auf demselben Raum sind. Man kann verschiedene Darstellungen desselben Raums verwenden, und alle diese sind durch die Lie-Algebra miteinander verbunden. Sth wie die Darstellung derselben Matrix bei einer Koordinatentransformation.
Ich habe nie davon gehört. Wenn zum Beispiel $\phi$ lebt im Tangentialraum an der Identität der Gruppe (= die Lie-Algebra), wirkt die Gruppe auf Elemente dieses Vektorraums als $g \phi g^{-1}$ (und die Generatoren als $[T_a,\Phi]$ , die als adjungierte Darstellung bezeichnet wird und der Transformation entspricht $2)$ von oben. Wie kann die Gruppe auf andere Weise auf diesen Vektorraum einwirken?
hm, ich bin mir nicht sicher. beide $T$ Und $Q$ sollte gleich sein. Sehe da keinen Unterschied. Außerdem wird auf andere Weise nicht auf den Raum eingewirkt, das Einwirken erfolgt durch die Lie-Algebra. Das Problem sind die Darstellungen der Operatoren in Ihrer Frage.

QMechaniker · Answer 1

I) Es ist schwierig zu kommentieren, ohne das Lehrbuch zu sehen, aber eine Interpretation ist, dass es im Wesentlichen nur darum geht, geeignete Repräsentationen wie folgt zuzuordnen. Lassen $G$ eine Lie-Gruppe mit der entsprechenden Lie-Algebra $L$ . Lassen $\exp: L\to G$ sei die Exponentialkarte. Lassen $t_a\in L$ sei ein Lie-Algebra-Generator. Lassen $A$ sei eine Algebra mit einer Menge $A^{\times}$ von invertierbaren Elementen.

II) Let

R : G \to A^{\times}

$r: G ~\to~ A^{\times}$

ein Lie-Gruppenhomomorphismus sein. Der Homomorphismus der Lie-Gruppe induziert einen entsprechenden Homomorphismus der Lie-Algebra

R : L \to A,

$r:L~\to~ A,$

die wir auch nennen $r$ . Lassen

Q_{A} := R (T_{A}) \in A .

$Q_a~:=~r(t_a)~\in~ A.$

III) Betrachten Sie eine Darstellung einer Lie-Gruppe/Algebra

R : G \to G L (A, C), R : L \to G l (A, C),

$R:G~\to~ GL(A,\mathbb{C}), \qquad R:L~\to~ gl(A,\mathbb{C}),$

definiert als

R (G) ϕ := R (G) ϕ R (G)^{- 1}, G \in G, ϕ \in A,

$R(g)\phi~:=~ r(g)\phi r(g)^{-1}, \quad g\in G, \quad \phi\in A,$

R (T) ϕ := [R (T), ϕ], T \in L, ϕ \in A,

$R(t)\phi~:=~ [r(t),\phi], \quad t\in L, \quad \phi\in A,$

bzw. Definieren

T_{A} := R (T_{A}) = [R (T_{A}), \cdot] = [Q_{A}, \cdot] \in G l (A, C) .

$T_a ~:=~R(t_a)~=~[r(t_a), \cdot]~=~[Q_a, \cdot]~\in~gl(A,\mathbb{C}) .$

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