Verwirrung über zwei Definitionen von Anomalien

Da ich gerade für eine Prüfung über Quantenfeldtheorie und Stringtheorie lerne, war ich verwirrt über den Begriff "Anomalien" und wie sie tatsächlich definiert werden. Ähnliche Fragen wurden hier und hier schon gestellt , aber die gegebenen Antworten haben mich nicht wirklich zufrieden gestellt.

Nehmen wir also an, wir haben eine klassische Symmetrie, dh eine Symmetrie der Aktion. Die beiden Definitionen, die ich immer wieder sehe, sind diese:

  1. (meist in Texten zur Stringtheorie) Eine Symmetrie ist anomal, wenn sie nicht einheitlich auf dem Hilbert-Raum (bei beliebiger Regularisierung) darstellbar ist. Äquivalent (?), wenn wir kein Ordnungsrezept finden können, so dass die Symmetriegeneratoren nach der Quantisierung der richtigen Algebra gehorchen und immer noch einheitlich und positiv-energetisch sind.
    Beachten Sie, dass wir immer noch eine projektive Darstellung finden können, wenn die Symmetrie immer noch eine Strahlensymmetrie auf dem Hilbert-Raum ist (ist das immer der Fall?). Wenn die Darstellung echt projektiv ist, gibt es zwei Möglichkeiten (wie zB bei Weinberg beschrieben): Entweder, wenn die Symmetriegruppe nicht einfach zusammenhängend ist, müssen wir stattdessen eine Überdeckungsgruppe verwenden. Oder, wenn die Algebra nicht halbeinfach ist, könnte es zentrale Ladungen geben, die nicht zum Verschwinden gebracht werden können.
    Dabei wird immer davon ausgegangen, dass das Maß noch unveränderlich ist und die Ward-Identitäten gelten. Tatsächlich werden in der Stringtheorie die Ward-Identitäten oft verwendet, um bestimmte OPEs abzuleiten und damit die Quanten-Virasoro-Algebra abzuleiten.

    Beispiele hierfür sind:

    • Die Witt-Algebra in der Stringtheorie, die durch Quantisierung eine zentrale Erweiterung erhält und zur Virasoro-Algebra wird.
    • SO(3) wirkt auf einen nicht ganzzahligen Spin. SO(3) ist nicht einfach zusammenhängend und wir müssen Darstellungen der doppelten Überdeckung SU(2) betrachten.
    • Die auf nichtrelativistische 1-Teilchen-Zustände wirkende Algebra der Galilei-Gruppe hat eine zentrale Ladung in der Relation [ K ich , P j ] = − ich δ ich j m .
  2. (normalerweise in QFT-Texten) Die Symmetrie ist anomal, wenn wir kein Regularisierungsverfahren für das Pfadintegralmaß finden können D Φ so dass D Φ = D Φ ' .
    Dann ist klar, dass die Ward-Takahashi-Identitäten verletzt werden: Die Gleichung ⟨ ∇ μ j μ ⟩ = 0 (weg von Einfügungen) nimmt neue Begriffe auf der rechten Seite auf. Die Algebra der Symmetriegeneratoren ändert sich anscheinend nicht unbedingt.
    Ein Beispiel dafür ist die Anomalie der (globalen) chiralen Symmetrie in der QED. Übrigens haben wir hier nur einen Symmetriegenerator, sodass wir sowieso keine nicht-triviale zentrale Erweiterung der Algebra bekommen können.

Eigentlich kommt es mir gerade so vor, als wären das zwei völlig verschiedene Dinge. In Version 1 haben wir die invarianten Maß- und Ward-Identitäten, die in Version 2 fehlen. Andererseits haben wir in Version 2 keine zentralen Ladungen oder andere algebraische Modifikationen (im Gegensatz zu Version 1).

Trotzdem fühlt es sich so an, als ob es eine Art Verbindung zwischen den beiden geben sollte. Aber vielleicht liegt das nur daran, dass sie gleich heißen. Meine Frage ist also: Sind diese Begriffe verwandt? Vielleicht sogar dasselbe aus verschiedenen Blickwinkeln? (Zum Beispiel könnte ich mir vorstellen, dass wir vom Standpunkt der kanonischen Quantisierung die Anomalie in der Operatoralgebra erhalten, während wir vom Standpunkt der Pfadintegralquantisierung die Anomalie im PI-Maß erhalten.)

Antworten (1)

Die beiden Begriffe sind in der Tat verwandt. Nehmen Sie zum Beispiel die Weyl-Anomalie der bosonischen String-Theorie: die klassische (Polyakov) Aktion S ist unter Weyl-Umskalierungen der Worldsheet-Metrik unveränderlich γ a b , dh

S [ γ a b ( τ , σ ) ] = S [ exp ⁡ ( 2 ω ( τ , σ ) ) γ a b ( τ , σ ) ] = S [ γ a b ' ( τ , σ ) ] .
Da es sich um eine konforme Symmetrie handelt, muss die Spur des Energie-Impuls-Tensors verschwinden: T a a = 0 . Die Quantisierung der Theorie ohne Angabe der Anzahl der Raumzeitdimensionen führt zu einer Anomalie; Die Weyl-Invarianz ist keine Symmetrie der Quantenstringtheorie mehr. Der Spannungsenergietensor erhält eine zum Ricci-Skalar proportionale Spur R entsprechend der Weltblattgeometrie, dh T a a = − c 12 R , wo c ist die zentrale Ladung. Letztere ist nur im Fall von gleich Null D = 26 , also erscheint die Anomalie nicht bei der sogenannten kritischen Dimension. (Beachten Sie, dass es auch verschwindet, wenn die Weltblattgeometrie flach ist.) Die Existenz der zentralen Ladung induziert eine Virasoro-Algebra für die Modi des Spannungs-Energie-Tensors, was mit dem übereinstimmt, was Sie schreiben.

Die obigen Argumente können ohne Bezugnahme auf das Pfadintegral und sein Maß vorgebracht werden; dies ist der Standpunkt der Symmetriealgebra. Man kann aber auch ein anderes annehmen und fragen, was mit dem Pfadintegral passiert. Es stellt sich heraus, dass bei einer Weyl-Transformation die Variation des Maßes und der Rest des Integrals aus Einfügungen der Spur des Energie-Impuls-Tensors besteht und nur verschwindet, wenn keine konforme Anomalie vorliegt. Daher sind die beiden Bilder äquivalent.

Danke für deine Antwort! Glauben Sie, dass es eine Möglichkeit gibt, die Äquivalenz der beiden Bilder im Allgemeinen zu zeigen (nicht nur für die Weyl-Anomalie)? Mein Kollege hat mir vor ein paar Tagen gesagt, dass es mit den Wess-Zumino-Konsistenzbedingungen gemacht werden kann, aber ich hatte noch keine Zeit, mir das anzusehen.
Wenn ich es richtig verstehe, erzeugen zentrale Ladungen Phasen bei Transformationskompositionen und legen Auswahlregeln fest. Verstöße gegen diese Auswahlregeln stören die Symmetrie, und dies wird in den Pfadintegralformalismus als Nichtinvarianz des Maßes übersetzt, da ein zusätzlicher Term für die Aktion einen Regler erfordert, der die Symmetrie verletzt? Droht die Zentrale also mit möglichen Anomalien?
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