Warum müssen konservierte Ströme der Lorentz-Symmetrie die Lorentz-Algebra erfüllen?

I) Was bedeutet es, dass eine Theorie invariant bzgl. eine Gruppe$G$? Nun, insbesondere bedeutet dies, dass es eine wohldefinierte gegebene Vorschrift dafür gibt, wie sich die Bestandteile der Theorie unter der Aktion der Gruppe verändern. In der Physik kommt es oft (aber nicht immer) vor, dass die Gruppenwirkung linear realisiert wird, dh die Felder, die Matrixelemente und andere Objekte bilden lineare Repräsentationen der Gruppe$G$. Nehmen wir dies im Folgenden der Einfachheit halber an. Siehe auch zB diesen und diesen Phys.SE Beitrag.

II) In unserem Fall die Gruppe$G$ist die Lorentz-Lie-Gruppe$O(D-1,1)$. Dies ist die Menge von Real$D\times D$Matrizen$\Lambda\in {\rm Mat}_{D\times D}(\mathbb{R})$, so dass

$$\Lambda^t \eta \Lambda ~=~\eta.$$

Hier$\eta_{\mu\nu}$ist die Minkowski-Metrik in$D$Dimensionen der Raumzeit. Wir wollen also eine lineare Darstellung untersuchen$\rho$der Lorentz-Lie-Gruppe. Beachten Sie, dass die Darstellung$\rho(\Lambda)$einer Lorentz-Matrix$\Lambda$ist typischerweise kein$D\times D$Matrix. Es könnte ein Operator sein. Hier die Darstellung (Karte)$\rho$ist ein Homomorphismus der Lie-Gruppe .

III) Dann, auf der infinitesimalen Ebene, die$D\times D$Lorentz-Matrizen

$$\Lambda~\in~ O(D-1,1)~\subseteq ~{\rm Mat}_{D\times D}(\mathbb{R})$$

werden generiert von a$D(D-1)/2$-dimensionale Basis von$D\times D$Matrizen$J^{\mu\nu}\equiv-J^{\nu\mu}$in der entsprechenden Lie-Algebra

$$so(D-1,1)~\subseteq ~{\rm Mat}_{D\times D}(\mathbb{R}).$$

In ähnlicher Weise wird auf der infinitesimalen Ebene die Lie-Gruppenwirkung auf ein physikalisches Objekt (in der Theorie) von den entsprechenden Lie-Algebra- Generatoren erzeugt$M^{\mu\nu}=\rho(J^{\mu\nu})$in der dazugehörigen linearen Darstellung$\rho$.

Als Folge der Gruppenaktion werden die Lorentz-Lie-Algebra-Generatoren$M^{\mu\nu}$in der entsprechenden linearen Darstellung$\rho$müssen die explizite Form des erfüllen$so(D-1,1)$Lorentz Lie-Algebra.

IV) Verwenden Sie schließlich (i) diese explizite Form und (ii) die Tatsache, dass die Minkowski-Metrik in Lichtkegelkoordinaten gegeben ist als

$$\eta_{\mu\nu}~=~\left[ \begin{array}{cc} 0 & -1 & 0 \\-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &\delta_{IJ}\end{array} \right], \qquad \mu,\nu=+,-,2,3,\ldots, D-1,$$ $$\qquad I,J=2,3,\ldots, D-1,$$

um das zu schließen

$$[M^{I-},M^{J-}]~=~0.$$

V) Auf der klassischen Ebene kann man den Satz von Noether verwenden , um die klassische Darstellung der Drehimpulsgeneratoren zu finden$M^{\mu\nu}$.

Konkret, wie die klassische bosonische Saite quantisiert wird, und konkret, wie die entsprechenden Quantenoperatoren$M^{\mu\nu}$explizit als Operatoren realisiert werden, wird z. B. in Barton Zwiebach, A First Course in String Theory, Kapitel 12 , erklärt. Die Konstruktion ist aufgrund von Fragen der Operatorordnung nicht trivial.