Anomalien und Modifikation der Symmetriealgebra

Das Vorhandensein von Anomalien geht fast immer mit einer Erweiterung der Eichgruppen-Kommutationsbeziehungen einher. Der Fall einer nicht-Abelschen Axialanomalie ist möglicherweise der bekannteste Fall.

Die abstrakte Eichgruppenalgebra:

$[G_a(x), G_b(y)] = if_{ab}^{c} \delta^N(x-y)$

($N$die Anzahl der Dimensionen ist), wird auf der Quantenfeldebene nicht realisiert

Wenn$N=1$erhält man die zentrale Kac-Moody-Erweiterung:

$[G_a(x), G_b(y)] = if_{ab}^{c} \delta(x-y) + \frac{ik}{2\pi} \delta_{ab} \delta^{'}(x-y)$

Für ungerade$N>1$erhält man eine (nicht zentrale) abelsche Erweiterung. Für$N=3$, die Erweiterung heißt: "The Mickelsson-Faddeev"-Erweiterung (manchmal die Mickelsson-Faddeev Shatashvili-Erweiterung) ( Mickelssons Originalartikel , Faddeevs Originalartikel ):

$[G_a(x), G_b(y)] = if_{ab}^c \delta^3(x-y) + \frac{ik}{24 \pi^2}d_{abc} \epsilon_{ijk} \partial_i A_{cj}(x) \partial_k \delta^{3}(x-y)$

($d_{abc} = \mathrm{tr}(T_a \{T_b, T_c\})$). Wie zu sehen ist, hängt diese Erweiterung explizit von einem Hintergrund-Eichfeld ab$A_j(x)$und es ist nicht zentral (pendelt nicht mit den Eichgruppengeneratoren), weil das Eichfeld nicht eichinvariant ist:

$[G_a(x), A_{bi}(y)] = if_{ab}^{c} A_{ci}(x) \delta^3(x-y) + i \delta_{ab} \partial_i \delta^{3}(x-y)$

Diese Erweiterungen entstehen aufgrund des Erfordernisses der Renormierung, wodurch Produkte von Operatoren schlecht definiert werden. Die Erweiterungen hängen jedoch nicht von der Art der angenommenen Regularisierung ab.

Im Kac-Moody-Fall (und auch im Virasoro-Fall) ist bekannt, dass die Erweiterung wesentlich ist, um einheitliche irreduzible positive Energiedarstellungen der Algebra zu erhalten, die eine quantenmechanische Interpretation der Spektren ermöglichen. Im Fall Mickelsson-Faddeev sind jedoch keine derartigen Darstellungen bekannt. Tatsächlich gibt es einen Satz von Pickrell , der dem Auffinden solcher Darstellungen fast die Tür zuschlägt.

Es gibt eine Reihe von Arbeiten von Juoko Mickelsson, die versuchen, diese Erweiterung mit Hilfe einer unendlichdimensionalen Repräsentationstheorie zu verstehen, bitte sehen Sie sich diese Arbeit von Mickelsson und die darin enthaltenen Referenzen an.

Die nicht-Abelsche chirale Anomalie ist algebraisch und topologisch sehr gut verstanden, siehe die folgende Übersicht von RA Bertlmann. In dem Beispiel nach Gleichung (38) in dem Artikel werden alle Größen, die mit der nicht-Abelschen chiralen Anomalie verbunden sind, algebraisch berechnet (ohne Feynman-Diagramme zu lösen) durch die sogenannten Stora-Zumino-Abstiegsgleichungen.

Diese Gleichungen geben auf der ersten Ebene den Chern-Simons-Term, auf der zweiten Ebene die Anomalie (Divergenz des Stroms), auf der dritten Ebene die Erweiterung in den Eichgruppen-Kommutationsbeziehungen und auf der vierten Ebene den Assoziator, der die verursacht Verletzung der Jacobi-Identität, was zu einer nicht assoziativen Algebra führt (siehe die folgende Frage zum Austausch von Physikstapeln ).

Ich erwähnte die Abstammungsgleichungen, weil es ein modernes Gerbe-Konzept gibt, das versucht, eine geometrische Umsetzung dieser Gleichungen zu finden (siehe auch die folgende Rezension von Mickelsson ). Diese Forschungsrichtung hat das Potenzial, ein tieferes Verständnis der Quantenstrukturen zu liefern, die wir diesen Algebren (interpretiert als klassische Algebren der Poisson-Klammer) zuordnen müssen, da die üblichen Hilbert-Räume und unitären Darstellungen nicht zu funktionieren scheinen. Die Mickelsson-Faddeev-Algebra wurde innerhalb der Gerbe-Theorie ausführlich analysiert, siehe zum Beispiel diese Arbeit von Hekmati, Murray, Stevenson und Vozzo (und auch die obige Referenz von Micklsson).

Ich bin mir ziemlich sicher, dass die Antwort „nein“ lautet. Es gibt eine konforme Anomalie in jeder geraden Anzahl von Dimensionen. In 4 Dimensionen ist es zum Beispiel die Aussage that$T^\mu_\mu$ist für eine CFT auf einem allgemein gekrümmten Hintergrund ungleich Null, gleich den Koeffizienten$a$Und$c$mal der Euler-Dichte und Weyl$^2$Bedingungen. Aber es gibt keine zentrale Erweiterung der konformen Algebra wie in zwei Dimensionen.

(Sie werden im 2D-Fall feststellen, dass der SL(2)-Teil der Algebra von der zentralen Erweiterung nicht betroffen ist, also haben in gewissem Sinne nur die konformen Generatoren, die nicht auf höhere Dimensionen verallgemeinern, eine modifizierte Algebra.)