Die integrierte Form der anomalen Nichterhaltungsgleichung in zwei Dimensionen

Ich habe Fragen in Abschnitt 19.1 von Peskin und Schroeder.

$$\begin{equation} \psi = \begin{pmatrix} \psi_+ \\ \psi_- \tag{19.7} \end{pmatrix} \end{equation}$$

Die Indizes zeigen die$\gamma^5$Eigenwert.

Im Folgenden zeigen wir, dass es Situationen gibt, in denen das axiale Stromerhaltungsgesetz gilt

$$\partial_{\mu} j^{\,\mu 5} =0 .$$ verletzt wird, und die integrierte Version von $$\partial_{\mu} j^{\,\mu 5} = \frac{e}{2\pi} \epsilon^{\mu\nu}F_{\mu\nu} \tag{19.18}$$ hält. wo das total antisymmetrische Symbol $\epsilon^{\mu \nu}$ist definiert als $\epsilon^{01}=+1$auf Seite 653.

Analysieren wir dieses Problem, indem wir im Hintergrund an Fermionen in einer Raumdimension denken$A^1$Feld, das im Raum konstant ist und eine sehr langsame Zeitabhängigkeit hat. Wir nehmen an, dass das System eine endliche Länge hat$L$, mit den periodischen Randbedingungen.

So$A^1(t,0)=A^1(t,L)$, und auch$\psi(t,0)=\psi(t,L)$.

die Einteilchen-Eigenzustände von$H$Energien haben

$$\begin{alignat}{2} \psi_+ : \quad \quad & E_n && =+(k_n -eA^1), \\ \psi_+ : \quad \quad & E_n && =-(k_n -eA^1). \tag{19.36} \end{alignat}$$

Nun betrachten wir die langsame Verschiebung von$A^1$.

Wenn$A^1$ändert sich um den endlichen Betrag

$$\Delta A^1 = \frac{2\pi}{eL} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (19.37)$$

Wo$\Delta A^1 \gt 0$.

das Spektrum von$H$kehrt in seine ursprüngliche Form zurück. Dabei wird jede Ebene von$\psi_+$bewegt sich nach unten zum nächsten poston, und jede Ebene von$\psi_-$rückt auf die nächste Position vor, Die Besetzungszahlen der Ebenen sollen bei diesem adiabatischen Vorgang erhalten bleiben. Somit ist bemerkenswerterweise ein sich nach rechts bewegendes Fermion ($\psi_+$) verschwindet aus dem Vakuum und ein zusätzliches Fermion ($\psi_-$) erscheint.

So

$$\quad \Delta N_R=-1 ,\quad \Delta N_L=1$$ .

Gleichzeitig,

$$\begin{alignat}{2} \int d^2x \frac{e}{2\pi} \epsilon^{\mu\nu}F_{\mu\nu} &=&& \int dt dx \frac{e}{\pi} \partial_0 A^1 \\ &=&& \frac{e}{\pi} L(-\Delta A^1) \\ &=&& -2 \tag{19.38} \end{alignat}$$

wo ich einen Druckfehler auf der linken Seite der ersten Zeile korrigiert habe.

wobei wir (19.37) in die letzte Zeile eingefügt haben. Damit ist die integrierte Form der anomalen Nichterhaltungsgleichung (19.18) tatsächlich erfüllt:

$$\Delta N_R - \Delta N_L = \int d^2x \frac{e}{2\pi} \epsilon^{\mu\nu}F_{\mu\nu} . \tag{19.39}$$

Für$\Delta N_R - \Delta N_L =-2$.
Aus

$$\int d^2x \partial_{\mu} j^{\,\mu 5} =\Delta N_R - \Delta N_L \tag{19.30}$$ wir erhalten $$\int d^2x \partial_{\mu} j^{\,\mu 5} = \int d^2x \frac{e}{2\pi} \epsilon^{\mu\nu}F_{\mu\nu}.$$

Frage 1:
Ich habe alle Berechnungen überprüft, die zu (19.38) führen. Aber ich kann das Minuszeichen in der zweiten und dritten Zeile von (19.38) nicht verstehen.
Woher kommt das?

Frage 2 :

Bei der Berechnung der Änderungen in den einzelnen Fermionenzahlen haben wir angenommen, dass das Vakuum die Ladung bei großen negativen Energien nicht ändern kann. Diese Vorschrift ist eichinvariant, führt aber zur Nichterhaltung des axialen Vektorstroms.

Daraus folgt, dass, wenn das Vakuum die Ladung bei großen negativen Energien ändert, diese Vorschrift nicht eichinvariant wäre.
Woher? Würden Sie das bitte erklären?