Warum ist es wichtig, dass der Vektorstrom in der QED erhalten bleibt?

Ich erweitere TwoBs Kommentar nur auf Ihre Antwort.

Es gibt folgende Aussage: masselose Teilchen mit beiden Helizitäten$\pm 1$kann nicht durch ein 4-Vektorfeld dargestellt werden$A_{\mu}$. Das einzige Feld (bis auf Äquivalenz), das entsprechende Teilchen darstellt, ist$F_{\mu \nu}$. Wenn Sie sich entscheiden, diese Partikel durch darzustellen$A_{\mu}$, dann wird es kein 4-Vektor sein:

$$A_{\mu}(x) \to \Lambda_{\mu}^{\ \nu}A_{\nu}(\Lambda x) + \partial_{\mu}\psi (x) ,$$ oder gleichwertig, $$\tag 1 \epsilon_{\mu}(p) \to \Lambda_{\mu}^{\ \nu}\epsilon_{\nu}(p) + p_{\mu}\psi(p^{2}).$$ Wenn wir also eine Theorie der Wechselwirkung eines Materiefeldes mit aufbauen $A$-Feld (wir brauchen es, weil es das Gesetz der umgekehrten Quadrate darstellt, während $F_{\mu \nu}$-Wechselwirkung nicht), müssen wir verifizieren, dass Wechselwirkungsprozesse Lorentz-invariant sind, d. h. zweiter Summanden in $(1)$wirkt sich nicht auf die physikalische Amplitude aus. Es kann in der Soft-Photonen-Grenze gezeigt werden, dass sie nur dann wirklich wahr ist, wenn die Gesamtladung im Prozess erhalten bleibt. Aber Ladungserhaltung ist nichts anderes als 4-Vektor-Stromerhaltung in integraler Form.

Sie sehen also, dass die 4-Strom-Erhaltung für die Lorentz-Invarianz der QED erforderlich ist (wie die 4-Impuls-Erhaltung und das Äquivalenzprinzip für die Lorentz-Invarianz der Gravitationstheorie erforderlich sind).

Eine ähnliche Antwort wurde hier bereits geschrieben .

Es gibt ein glattes Argument, um zu sehen, warum die Erhaltung des Stroms für die Eichinvarianz erforderlich ist. Die "Kopplung" zwischen dem Photon und dem Strom ist gegeben durch

$$L \supset A_\mu J^\mu.$$

Unter einer Eichtransformation,$A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \Lambda(x)$So

$$L \to L + J^\mu \partial_\mu \Lambda.$$

Nach partieller Integration und Wegwerfen eines Randterms ist die Änderung der Wirkung

$$\delta S = \int d^4x \, \Lambda(x) \, \partial_\mu J_\mu.$$

Da dieser bei allen Wahlen verschwinden muss$\Lambda(x)$,$\partial_\mu J_\mu = 0.$