Warum nehmen wir an, dass lokale konforme Transformationen Symmetrien in 2D-CFT sind?

Die globale konforme Gruppe in 2D ist S L ( 2 , C ) . Sie besteht aus den fraktionalen linearen Transformationen, die die Riemann-Kugel bijektiv in sich selbst abbilden, und ist endlichdimensional.

Allerdings beim Studium C F T 2 Die Leute verwenden immer die vollständige Virasoro-Algebra, nicht nur die L 0 , ± 1 die tatsächlich zu invertierbaren Transformationen potenzieren. Ich würde gerne wissen, warum die Leute den anderen in Betracht ziehen L n 's Symmetrien der Theorie sein.

Mir ist bewusst, dass Ward-Identitäten lokale Aussagen sind und dass ich einen Koordinaten-Patch betrachten kann, bei dem die zusätzlichen konformen Transformationen bijektiv sind, um Beziehungen zwischen Korrelationsfunktionen in diesem Patch abzuleiten. Ich bin auch mit den Darstellungen der Virasoro-Algebra vertraut und wie einschränkend die Symmetrie ist.

Wir betreiben jedoch Quantenmechanik, und eine Symmetrie der Theorie sollte mich von einem physikalischen Zustand in einen anderen bringen. Außerdem sollte die Symmetrie eine Umkehrung aufweisen, die diese Transformation rückgängig macht. Das bedeutet, dass sich der physische Hilbert-Raum in Repräsentationen der Symmetrien der Theorie organisieren sollte. Die lokalen konformen Transformationen können jedoch keine Inversen haben und bilden daher meines Wissens keine Gruppe. Warum wird also angenommen, dass die Zustände von a C F T 2 sollten sich in Repräsentationen der Virasoro-Algebra organisieren? (Mir ist bewusst L n ≤ − 2 | 0 ⟩ ≠ 0 , ⟨ 0 | L n ≥ 2 ≠ 0 also alle außer dem L 0 , ± 1 werden beim Ein-/Aus-Vakuum "spontan gebrochen", aber dies ist nicht relevant, da angenommen wird, dass sich die Zustände der Theorie zu Verma-Modulen zusammensetzen, da angenommen wird, dass der Virasoro eine Symmetrie der Theorie war, die gerade durch die verletzt wird Vakuum).

Meine Frage läuft im Grunde darauf hinaus: Wie kann ich Symmetrien einer Theorie haben, die nicht invertierbar sind? Ich würde mich über jeden Kommentar freuen, der meine Verwirrung beseitigt.

Antworten (1)

Die Virasoro-Algebra ist eine zentral erweiterte Algebra. Das bedeutet, dass in jeder Darstellung ihr zentrales Element durch den Einheitenoperator repräsentiert werden muss. Daher kann es (für eine nicht verschwindende Zentralladung) auf der Quantenebene nicht vollständig als Symmetrie des Vakuums implementiert werden, sonst kann man einen Widerspruch der Art bekommen 1 | 0 ⟩ = 0 | 0 ⟩ .

Die Algebra s u ( 1 , 1 ) generiert durch L 0 , ± 1 ist die größte Teilalgebra, die das zentrale Element nicht enthält, also die größte Teilalgebra, die als Symmetrie des Vakuums implementiert werden kann.

Der richtige Weg ist, die (zentral erweiterte) Gruppe anzuzeigen G = D ich f f ( S 1 ) ~ als die dynamische Gruppe der Theorie (siehe Souriaus Buch Seite 100). (Obwohl dieses Buch nur endlichdimensionale Gruppen behandelt). Das bedeutet, dass diese Gruppe klassisch durch eine kanonische Transformation implementiert werden kann. Der Hamiltonoperator wird ein Element der universellen einhüllenden Algebra der Gruppe sein. Beide Bedingungen gelten in unserem Fall.

Die Bedeutung dieser Konstruktion besteht darin, dass bei der Quantisierung die Wirkung der dynamischen Gruppe (optimistisch) auf eine einheitliche Darstellung im Quanten-Hilbert-Raum angehoben werden kann. Diese Darstellung wird von einer Darstellung der kleinen Gruppe (vakuumerhaltende Untergruppe zum Beispiel eine Untergruppe) induziert H entsprechend der Lie-Algebra s u ( 1 , 1 ) ).

In der modernen Terminologie wird diese Konstruktion als Quantisierung der koadjungierten Umlaufbahn bezeichnet G / H . Die Darstellung der kleinen Gruppe legt tatsächlich eine symplektische Struktur auf der koadjungierten Umlaufbahn fest. Bitte lesen Sie den Artikel von: Gay-Balmaz über die koadjungierten Orbits der Virasoro-Gruppe und die darin enthaltenen Referenzen (Der Artikel ist online auf der folgenden Seite verfügbar ).

(Es sollte erwähnt werden, dass die Theorie der koadjungierten Bahnen im endlichdimensionalen Fall viel einfacher ist, siehe zum Beispiel die folgende Übersicht von Kirillov).

Dies ist in unserem Fall wegen der unendlichen Dimensionalität der Gruppe und der Repräsentationen nicht die ganze Geschichte. Wie in der Frage erwähnt, können die defekten Generatoren in diesem Fall nicht einheitlich implementiert werden, da sie das Vakuum außerhalb des Quanten-Hilbert-Raums treiben.

Diese Situation wurde von Bowick und Rajeev und auch von Kirillov und Yuriev berücksichtigt, siehe die folgende Rezension von Sergeev. Sie konstruierten den Hilbetrt-Raum und bearbeiteten ihn dann mit einem willkürlichen Element von D ich f f ( S 1 ) Verschieben des Vakuumzustands. Das Vakuum erzeugt ein Linienbündel über D ich f f ( S 1 ) mit hermitescher Verbindung. Sie fanden heraus, dass die Bedingung, dass diese Verbindung flach wird, genau die ist, in der die Quantentheorie wird D ich f f ( S 1 ) auf Quantenebene invariant (zum Beispiel im flachen Fall des bosonischen Strings passiert dies, wenn d = 26 ). Die von ihnen durchgeführte Quantisierung ist eine Kähler-Quantisierung. Sie fanden heraus, dass der Beitrag des kanonischen Bündels der koadjungierten Umlaufbahn zur Anomalie gerade gleich dem Beitrag der Geister ist (dies ist verständlich, weil der Geisterterm aus dem Volumenmaß des Pfadintegrals stammt). Die Ebenheitsbedingung der Vakuumbündelverbindung kann als unitäre Äquivalenz der Quantisierungs-Hilbert-Räume interpretiert werden. In diesem Fall kann die Virasoro-Algebra potenziert werden, da sie keine zentrale Nettoladung hat.

Diese Art der Quantisierung wurde von Hitchin und später von Axelrod, della Pietra und Witten bei der Quantisierung der Chern-Simons-Theorie verwendet.

Die Lösung der Implementierbarkeit der vollständigen Virasoro-Gruppe auf der Quantenebene besteht also darin, das Vakuum als Tensorprodukt des Materie-Fock-Vakuums und der Geistersektoren so zu nehmen, dass seine volle zentrale Ladung verschwindet.

Verstehe ich die Logik Ihres ersten Absatzes richtig? Angenommen, wir wollen alle L n Symmetrien sein. Das bedeutet für alle n das Vakuum ist invariant: ρ ( L n ) | 0 >= 0 für alle n . Andererseits ist die Darstellung eines Zentrums immer proportional zur Einheit ρ ( Z ) = c × 1 . Jetzt [ ρ ( L n ) , ρ ( L − n ) ] | 0 >= 0 | 0 >= 2 n ρ ( L 0 ) | 0 > + c × 1 | 0 >= c × 1 | 0 > also haben wir 0 = c × 1 | 0 > obwohl wir angenommen haben c ≠ 0 . Die vollständige Virasoro-Algebra kann also nicht auf Quantenebene als Symmetrie des Vakuums implementiert werden.
@ungerade du hast recht
Mich wundert auch etwas: "Die defekten Generatoren können in diesem Fall nicht einheitlich implementiert werden, weil sie das Vakuum außerhalb des Quanten-Hilbert-Raums treiben." Nach meinem (wahrscheinlich falschen) Verständnis dachte ich das ρ ( L n ) | 0 > entweder 0 (zum n > − 2 ) oder ein neuer Zustand im Hilbertraum. Wie spielt dies in die Diskussion ein? (Wenn diese Frage zu lang ist, um sie zu beantworten, stelle ich natürlich gerne eine separate Stackexchange-Frage.)
@ungerade, in der Stringtheorie muss die Virasoro-Algebra eine echte Symmetrie des Hamilton-Operators und des Vakuums sein. Nur so kann man es abschätzen und eine reparametrisierungsinvariante Theorie auf Quantenebene erhalten. Somit kann die Stringtheorie aus verschiedenen Sektoren (Materie und Geister) zusammengesetzt sein, die jeweils eine nicht verschwindende zentrale Ladung haben, aber die gesamte zentrale Ladung muss Null sein. Der Weg, dies zu erreichen, besteht darin, das Stringtheorie-Vakuum als Tensorprodukt der verschiedenen konstituierenden Vakuua zu nehmen. Jeder Sektor für sich muss nicht reparametrisierungsinvariant sein....
In der Quantenfeldtheorie (im Gegensatz zur Quantenmechanik) treiben spontan gebrochene Generatoren das Vakuum außerhalb des Hilbert-Raums der Theorie, da wir diese minimalen Energievektoren des Typs beweisen können e ich a G | v a c ⟩ wo G ist ein spontan kaputter Generator sind für alle orthogonal zum Vakuum a ≠ 0 zum Vakuum, kann also nicht durch einen einheitlichen Operator (die infinitesimale Wirkung) dargestellt werden G | v a c ⟩ , existiert jedoch, da es sich um den Nambu-Goldstone-Modus handelt.)
Das bedeutet, dass die Symmetriegruppe im Gegensatz zur Symmetriealgebra auf dem Hilbertraum nicht einheitlich darstellbar sein wird, und das ist auch nicht der Fall, den wir brauchen, da wir, wie oben erwähnt, diese Symmetrie ausmessen müssen.
Warum nehmen wir an, dass lokale konforme Transformationen Symmetrien in 2D-CFT sind?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v