CFT und das Coleman-Mandula-Theorem

Das Coleman-Mandula-Theorem besagt, dass unter bestimmten scheinbar milden Annahmen über die Eigenschaften der S-Matrix (grob gesagt: Ein-Teilchen-Zustände bleiben unveränderlich und die Amplituden sind in externen Impulsen analytisch) die größtmögliche Lie-Algebra der Symmetrien von a (non -trivial) S-Matrix ist durch Poincaré-Zeiten eine innere Symmetrie gegeben.

Andererseits gibt es (Wechselwirkungs-)Feldtheorien, deren Lagrangians unter der konformen Erweiterung der Poincaré-Gruppe symmetrisch sind, und in einigen seltenen Fällen bleibt diese Eigenschaft sogar auf Quantenebene erhalten.

Warum widersprechen (wechselwirkende) konforme invariante QFTs nicht dem Theorem? Ist es möglich, in diesen Theorien eine S-Matrix zu definieren? Ich habe irgendwo gelesen, dass sie keine Partikelinterpretation zulassen, was bedeutet das genau?

Antworten (2)

Die Frage hast du dir quasi selbst beantwortet. In CFT gibt es keinen Begriff von "Teilchen" - einzelne Energieklumpen, die unabhängig voneinander existieren, wenn sie weit genug voneinander entfernt sind. Andere Möglichkeiten, dasselbe zu sagen - Der Hilbert-Raum der Theorie organisiert sich nicht auf natürliche Weise in einen Fock-Raum, oder es gibt keine Cluster-Zerlegung. All dies folgt aus Mangel an Maßstab in der Theorie. Infolgedessen funktioniert die LSZ-Reduktion, die von der Kontraktion geeigneter asymptotischer Zustände abhängt, nicht (wenn Sie versuchen, sie zu erzwingen, finden Sie IR-Divergenzen, die nicht wieder aufgenommen werden können). Wie Sie also sagen, existiert die S-Matrix nicht, was die Lücke zum Coleman-Mandula-Theorem ist.

Gute Punkte, ich bin mir sicher, dass dies inzwischen jeder weiß, aber es ist gut zu bemerken, dass alle IR-Divergenzen effektiv entfernt werden, wenn die Raumzeit kompakt ist, daher sollten diese Theorien in solchen Räumen immer noch interessant sein
Sicher, wenn Sie eine IR-Grenze in Form eines endlichen Raums setzen, ist die Theorie nicht mehr konform und es gibt endliche IR-Observable. Dies ist jedoch nicht die S-Matrix, da es kein "Unendlich" mehr gibt. Andere Arten von IR-Grenzwerten, wie endliche Massen, machen die S-Matrix wohldefiniert, aber dann ist die Theorie nicht mehr konform, und dementsprechend gilt das Coleman-Mandula-Theorem.
Entschuldigung, was ich gesagt habe, ergab überhaupt keinen Sinn. Ich glaube, ich habe nie ein wirkliches Gefühl dafür bekommen, wie sehr wir gezwungen sind, Super-Lie-Algebren als die einzige Möglichkeit zu akzeptieren, die Bedingungen dieses hochgradig einschränkenden Theorems zu lockern. Ist es möglich, die Poincare-Algebra durch leichte Störungen zu umgehen? (wie zum Beispiel Kommutatoren für Raum-Zeit-Generatoren haben Korrekturen kleiner Ordnung in anderen Innenraum-Generatoren und umgekehrt), welche anderen Alternativen gibt es? sind sie völlig erschöpft?
@Lurscher: Das CM-Theorem ist Teil einer intensiven Zeit, in der versucht wurde, die Idee der großen Vereinigung auf Raumzeitsymmetrien auszudehnen. Sie alle scheiterten, was CM motivierte, ein allgemeines Ergebnis zu geben. Abgesehen von CFT gibt es noch andere Schlupflöcher, von denen einige bereits im CM-Papier selbst erwähnt wurden (z. B. zweidimensionale QFT). Jedes No-Go-Theorem könnte einige weitere Schlupflöcher haben, die die Annahmen auf subtile Weise verletzen, aber in diesem Stadium liegt die Beweislast bei der Person, die versucht, diese alte Idee der Vermischung interner und Raumzeit-Symmetrien wiederzubeleben (ich höre, es könnte eine geben oder zwei..).
Danke für die Antwort. Nachdem ich die Frage gestellt hatte, wurde mir klar, dass in der Hypothese auch die Anforderung einer Massenlücke in der Theorie besteht und CFTs eindeutig ausgeschlossen sind. Wenn ich gut verstehe, was Sie sagen, ist auch die LSZ-Konstruktion auf Massenlücke angewiesen, sonst würde man IR-Divergenzen bekommen. Wenn dies der Fall ist, wie lässt sich die Streuung in Theorien mit masselosen Teilchen definieren? Was ist mit Eichtheorien?

Haag-Lopuszkanski-Sohnius erklärten in ihrer Arbeit von 1975, in der sie über Supersymmetrie diskutieren, wie das Coleman-Mandula-Theorem erweitert werden kann, falls die Theorie ein Spektrum hat, das keine massiven Anregungen enthält. Ihr Ergebnis ist, dass die Poincaré-Gruppe auf die entsprechende konforme Gruppe erweitert werden kann. Dies wird auch sorgfältig in Weinberg III, Kap. 24, Anlage B.

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