Ist konforme Symmetrie lokal oder global?

Ich frischen nur ein bisschen CFT auf und versuche zu verstehen, ob konforme Symmetrie im physikalischen Sinne lokal oder global ist.

Wenn die Metrik als dynamisch betrachtet wird, ist die Symmetrie offensichtlich lokal, da wir es dann im Wesentlichen mit einer Änderung von Variablen zu tun haben, unter der sich die Metrik mit einem lokalen Skalierungsfaktor transformiert Ω = Ω ( x ) .

Normalerweise betrachten wir die Metrik jedoch als feststehend. Die ausgezeichneten Notizen von David Tong legen nahe, dass in diesem Fall die Symmetrie als global gedacht werden sollte. Aber ich bin nicht sicher, ob ich zustimme.

Angenommen, wir arbeiten in 2D und haben eine allgemeine konforme Transformation, die durch eine holomorphe Funktion gegeben ist f ( z ) . Unter einer konformen Transformation z → w sagen wir, aktiv betrachtet, ein allgemeines Feld Φ verwandelt sich in

( d w d z ) h Φ

wobei der Vorfaktor eindeutig vom Raumzeitpunkt abhängt. Dies würde darauf hindeuten, dass die Transformation im physikalischen Sinne lokal ist.

Vielleicht ist die Unterscheidung, die er zu treffen versucht, die zwischen physikalischen und Eichtransformationen. Aber andererseits könnte ich mich irren, weil ich dachte, dass nur globale Transformationen konservierte Größen ungleich Null haben und es definitiv einen konservierten Strom für konforme Symmetrie gibt.

Könnte jemand helfen, dies für mich zu klären?

Antworten (1)

Ob die konforme Symmetrie lokal oder global ist, hängt von der Theorie ab! Genauer gesagt ist die Symmetrie, die möglicherweise lokal ist, nicht wirklich winkeltreue Symmetrie, sondern d ich f f × W e j l .

Zum Beispiel in allen CFTs, ​​die wir in der AdS/CFT-Korrespondenz verwenden, zum Beispiel die berühmte N = 4 Eichtheorie in d = 4 , ist die konforme Symmetrie global – und dementsprechend eine physikalische Symmetrie mit Erzeugerwerten ungleich Null. Dies hängt mit der Tatsache zusammen, dass die CFT-Seite der holographischen Dualität eine Nicht-Gravitationstheorie ist, sodass alle lokalen Symmetrien in Bezug auf die Raumzeitgeometrie vermieden werden.

Der vorherige Absatz gilt auch dann, wenn die Dimension des CFT-Weltvolumens ist d = 2 . Im d = 2 , kann es vorkommen, dass die globale konforme Symmetrie auf die unendlichdimensionale lokale Symmetrie erweitert wird, wo Ω ( x ) hängt vom Standort ab. Allerdings sieht eine solche Erweiterung nur klassisch "automatisch" aus. Quantenmechanisch eine Zentralladung ungleich Null c ≠ 0 hindert einen daran, die allgemeinen lokalen konformen Transformationen zu definieren. In allen CFTs von AdS/CFT haben wir c ≥ 0 . So eine Nicht-Null c führt zur "konformen Anomalie" (proportional zum Weltblatt Ricci-Skalar und c ).

Im Gegenteil, das Weltblatt d = 2 CFT-Theorien, die zur Beschreibung der Störungsstringtheorie verwendet werden, haben immer einen lokalen Diffeomorphismus und eine lokale Weyl-Symmetrie. Dies ist erforderlich, um alle unphysikalischen Komponenten des World-Sheet-Metrik-Tensors zu entkoppeln; und eine notwendige Bedingung ist die Einbeziehung der konformen (und anderer) Geister, damit wir in der kritischen Dimension das Notwendige haben c = 0 . Wir sagen, dass das Weltblatt CFT „an die Schwerkraft gekoppelt“ ist, wenn wir den metrischen Tensor des Weltblatts, die Diff-Symmetrie und die Weyl-Symmetrie hinzufügen. Die Weyl-Symmetrie ist die Symmetrie unter einer allgemeinen Skalierung der Weltblattmetrik um Ω ( x ) das hängt von der Position auf dem Weltblatt ab. Man kann diese lokale Weyl-Symmetrie zusammen mit der 2-dimensionalen Diffeomorphismus-Symmetrie messen, indem man z δ ich j Form des metrischen Tensors. Diese Fixierung des Messgeräts bewahrt immer noch eine gewisse Restsymmetrie, eine Untergruppe der ursprünglich unendlichdimensionalen "Diff-mal-Weyl"-Symmetrie. Diese Restsymmetrie ist nichts anderes als die von erzeugte unendlichdimensionale konforme Symmetrie L n und L ~ n . Da es unendlichdimensional ist, können wir es eine lokale konforme Symmetrie nennen, aber es ist wirklich nur eine Restsymmetrie von "diff mal Weyl". Der Globus S L ( 2 , C ) ∼ S Ö ( 3 , 1 ) globale Untergruppe ist die Mobius-Gruppe, die von generiert wird L 0 , ± 1 und solche mit Tilden auch.

Soweit ich weiß, ist diese lokale konforme Symmetrie ein Sonderfall von einigen d = 2 Theorien. In höheren Dimensionen reichen Weyl und diff nicht aus, um alle Komponenten des metrischen Tensors zu töten, und die „teilweise getöteten“ Theorien mit einer dynamischen Metrik sind immer noch inkonsistent als die üblichen naiv quantisierten Versionen der allgemeinen Relativitätstheorie.

In allen oben genannten Fällen und anderen gilt, dass die lokalen Symmetrien – wo der Parameter ist Ω ( x ) darf von Zeit- und Raumkoordinaten abhängen (falls letztere existieren) – sind Eichsymmetrien (in dem Sinne, dass die Generatoren verpflichtet sind, physikalische Zustände zu vernichten), während die globalen Symmetrien immer „physikalisch“ in Ihrem Sinne sind, dass die Ladung nicht Null ist . Diese Äquivalenzen folgen aus einem einfachen logischen Argument. Wenn man unendlich viele Erzeuger der (raum-)zeitabhängigen Symmetrietransformationen hat, folgt daraus, dass alle diesen Erzeugern zugeordneten Quanten genau entkoppeln – verschwindende Wechselwirkungen haben – mit den eichinvarianten Freiheitsgraden. Also untersuchen wir immer nur den physikalischen Teil der Theorie, und es ist die Theorie, die aus den Singuletts der Eichsymmetrie besteht.

Grüße an David.

Hallo Lubos - vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Das einzige, was ich nicht verstehe, ist, warum man sagen kann, dass die Symmetrie global und nicht lokal ist. Sicherlich müssen die Felder positionsabhängig transformiert werden ϕ → g ( x ) ϕ was bedeutet, dass die Symmetrie gemäß den üblichen Definitionen lokal sein sollte ? Ich verstehe den Unterschied zwischen den physikalischen Symmetrien und den Eichsymmetrien – ich lehne es lediglich ab, die physikalischen Symmetrien global zu nennen, nur weil sie physikalisch sind. Ist das, was los ist?
Lieber Edward, ich habe bereits erklärt, warum Ihr Einwand unerheblich ist. Die Definitionen von lokalen Symmetrien und Eichsymmetrien mögen oberflächlich anders aussehen, und dasselbe gilt für globale und physikalische Symmetrien, aber man kann beweisen , dass lokale Symmetrien Eichsymmetrien (Redundanzen) sind, während die globalen Symmetrien physikalisch sind und umgekehrt. Sie können Einspruch erheben, aber Ihr Einspruch ist ebenso unbegründet wie ein Einspruch dagegen, 10+4 mit 9+5 zu identifizieren. Nun, es ist dasselbe! (Trotz der Tatsache, dass es Leute geben mag, die nicht verstehen, warum 10+4 und 9+5 dieselbe Zahl sind.)
Auch hier ist die globale Symmetrie eine Symmetrie, deren Parameter zeitunabhängig ist (was in jeder Theorie, die Symmetrien hat, die Raum und Zeit mischen, wirklich raumzeitunabhängig bedeutet). Eine lokale Symmetrie ist eine, bei der die Parameter der Transformationen von der Zeit (oder Raumzeit) abhängen, was eine unendliche Anzahl von Parametern impliziert. Die Generatoren der globalen Symmetrien (erhaltene Ladungen) müssen Eigenwerte ungleich Null haben dürfen, sonst verletzt man die Clustering-Eigenschaft.
In ähnlicher Weise müssen die Generatoren lokaler Symmetrien gleich Null sein, wenn sie auf physikalische Zustände einwirken, da die "reinen Eich"-Zustände, die unter den lokalen Symmetrien (von ihrer physikalischen Komponente befreit) nicht invariant sind, sich von allen Zuständen entkoppeln - verschwindende Wechselwirkungen mit haben sind invariant unter den Eichsymmetrien. Durch Wechselwirkungen zwischen den physikalischen Zuständen erzeugt man also niemals die eichvarianten Objekte. Sie bilden einen "entkoppelten Sektor", der nicht zum physikalischen Spektrum der Theorie gehört. Deshalb sind Eichsymmetrien und lokale Symmetrien Synonyme!
Danke Lubos - ich stimme mit dem überein, was du sagst. Aber im speziellen Fall von 2D-CFT verstehe ich immer noch nicht, warum die Symmetrie global ist. Die allgemeine winkeltreue Symmetrie ist z → f ( z ) die offensichtlich raumzeitabhängig ist. Tatsächlich ist die Symmetriegruppe unendlich dimensional, erzeugt durch die 2D-Witt-Algebra. Und doch betrachten wir diese Symmetrie manchmal als physisch! Entweder die Definition von global oder die Definition von physisch muss in diesem Fall falsch sein, wenn sie äquivalent sein sollen. Wenn Sie einen Einblick in dieses spezielle Beispiel haben, wäre das sehr willkommen!
Lieber Edward, die allgemeine holomorphe Funktion z → f ( z ) ist keine lokale Symmetrie auf dem Weltblatt, da eine allgemeine lokale Symmetrie auf dem Weltblatt eine Funktion ist, die willkürlich von zwei Weltblattkoordinaten abhängt f ( σ , τ ) dh f ( z , z ¯ ) und nicht nur eine - die "Anzahl" der holomorphen Funktionen ist die gleiche wie fns von 1 reellen var. Im Vergleich dazu die Menge der Holomorphe. Funktionen (selbst wenn wir diejenigen einbeziehen, die nicht Eins-zu-eins sind) ist unendlich klein. Jedenfalls wird die Symmetrie unter allgemeinen holomorphen Abbildungen für CFT mit gebrochen c ≠ 0 durch die "konforme Anomalie".
Um zu entscheiden, ob man "gezwungen" ist, diese Symmetrielehre zu machen, muss man jedenfalls die einschlägigen Theorien - stellen Sie sich einen bestimmten CFT2 aus AdS3/CFT2 vor - genauer studieren und das Argument der "Entkopplung" überprüfen. Er wird herausfinden, dass die Zustände, die nicht von allen Virasoro-Generatoren vernichtet wurden, auf natürliche Weise aus denen hervorgegangen sind, die von ihnen vernichtet wurden. Außerdem kann man sich nicht wirklich damit vernichten L m für alles positive und negative m weil der Kommutator [ L − m , L m ] enthält einen Wert ungleich Null c -Zahl, die sicherlich keinen Nicht-Null-Zustand vernichtet!
Also auch wenn du das nennst c ≠ 0 Virasoro-Algebra - die zentrale Erweiterung - eine "Symmetrie", es ist keine Symmetrie, die erforderlich sein kann, um physikalische Zustände zu vernichten, weil der einzige Zustand, der von allen vernichtet wird L m ist der verschwindende Vektor 0 ! Dies wird für geändert c = 0 , dh nach der Einbeziehung der World-Sheet-Metrik, der superkonformen Geister usw. (nachdem wir die CFT an die Gravitation gekoppelt haben). Zum c = 0 , physische Zustände müssen effektiv von allen vernichtet werden L m und es wird zu einer lokalen Symmetrie, einem Überbleibsel der lokalen Diff- und Weyl-Symmetrie: String-Worldsheets funktionieren so.
Aha - ich glaube ich habe es jetzt verstanden. Also eine allgemeine konforme Transformation z → f ( z ) ist in der Tat eine unendlich dimensionale globale Transformation. In der Tat, wenn wir sehen z = s + ich t dann gibt es keine 2D-Lorentz-Transformation, die die Symmetrie zeitabhängig macht. Dies bedeutet, dass es nicht lokal ist, es sei denn, wir geben im Voraus genau an, dass es sein sollte. Das ist natürlich in der Stringtheorie der Fall, wo wir dann haben müssen c = 0 für eine nichttriviale Quantentheorie. Würden Sie meiner Argumentation zustimmen? Vielen Dank für Ihre Hilfe - es ist großartig, über diese Dinge sprechen zu können!
Ja, ich glaube, ich würde es abonnieren. ;-) Es ist standardmäßig ein unendlich dimensionaler globaler Trafo. Man kann die Fourier-kombinieren k n L n Generatoren in a ∫ d σ k ( σ ) T z ( σ ) die nur Generatoren enthält, die von der Raumkoordinate abhängen σ . In der Stringtheorie, in der eine CFT an die 2D-Schwerkraft gekoppelt ist, ist die konforme Symmetrie eine unendlich dimensionale (aber sehr niedrigdimensionale, relativ zur Ausgangsgruppe) Restsymmetrie aus der diff x Weyl-Gruppe, die eine vollwertige lokale Symmetrie ist - Generatoren hängen "willkürlich" von beiden Weltblattkoordinaten ab.
Ist konforme Symmetrie lokal oder global?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v