Quantensymmetrien: SSS oder ZZZ?

Lassen ich sei die Wirkung einiger QFT (eichfest und einschließlich aller notwendigen Gegenterme); S die zugehörige Streumatrix; und Z die Zustandssumme (z. B. in Form eines Pfadintegrals). Es gibt drei Begriffe von Symmetrien, die typischerweise diskutiert werden:

  1. Aktionssymmetrien, dh Transformationen der Form ϕ → ϕ ' die gehen ich unveränderlich,
  2. S -Matrix-Symmetrien, also Operatoren, die (über)kommutieren S , und
  3. Quantensymmetrien, also Transformationen der Form ϕ → ϕ ' die die Volumenform verlassen e ich [ ϕ ] d ϕ unveränderlich.

Es ist ein bekanntes Phänomen, dass die Symmetrien von ich müssen nicht mit denen von beiden übereinstimmen S Noch Z (z. B. Anomalien, SSB usw.). Was nicht so klar ist, ist, ob S Symmetrien u Z Symmetrien sind äquivalent. Was ich wissen möchte ist, ob

Für jede Symmetrie von S Es besteht eine Symmetrie von Z und umgekehrt

oder ein Gegenbeispiel. Wenn die Äquivalenz tatsächlich wahr ist, hätte ich gerne eine mehr oder weniger genaue Aussage in Form eines Theorems (mit der üblichen Strenge in Physiklehrbüchern).

Bitte kein Betrug. Gegenbeispiele gelten nur für "echte" QFTs (z. B. in einer freien Theorie pendelt alles mit S aber nicht alles geht Z unveränderlich; dies ist kein gültiges Gegenbeispiel, da es völlig trivial ist). Auch kein TQFT. Vielen Dank.

Jemand erwähnte in den Kommentaren die effektive Aktion Γ [ ϕ ] , die als die Legendre-Transformation von definiert ist Protokoll ⁡ Z . Ich wollte dieses Objekt nicht ins Bild bringen, weil ich es den anderen Usern überlassen wollte, ob sie dieses Objekt erwähnen oder nicht. Im Prinzip brauche ich keine Antworten, um die Symmetrien dieses Objekts zu analysieren, aber sie können es tun, wenn sie glauben, dass dies nützlich sein könnte. Lassen Sie mich das jedenfalls betonen Γ ist nicht dasselbe Objekt wie ich .

Wenn Sie die Quantenwirkung betrachten ich (was so zu sein scheint, da Sie Gegenbegriffe einschließen), dann enthält es natürlich größtenteils die gleichen Symmetrien wie S und Z .
Rückblickend hätte ich die erste Art von Symmetrien "Lagrange-Symmetrien" nennen sollen. So hätte der Titel "L, S oder Z" lauten können :-P
Übersetzungen sind keine Lagrange-Symmetrien, nur Symmetrien der Aktion.
@ArnoldNeumaier Es war eher ein Witz (wie in "LSZ-Reduktionsformel"). Zugegeben, nicht sehr lustig...
Mein Punkt war, dass der Witz wegen des Mangels an fataler Entsprechung der zugrunde liegenden Sprache zu lahm ist.
Welp, da geht die allgegenwärtige stille Ablehnung. Ich schätze, jemandem hat die Frage nicht gefallen. Nun ja...

Antworten (2)

Man spricht manchmal von On-Shell-Symmetrien: Symmetrien der Bewegungsgleichungen oder der S-Matrix, die Off-Shell (dh auf der Ebene der Aktion, des Pfadintegrals, der Korrelatoren usw.) nicht gelten. Elektromagnetische Dualitätstransformationen

F → cos ⁡ ( θ ) F − Sünde ⁡ ( θ ) ⋆ F ⋆ F → Sünde ⁡ ( θ ) F + cos ⁡ ( θ ) ⋆ F
sind ein Beispiel dafür. Diese Transformationen lassen die Bewegungsgleichungen und die S-Matrix invariant (mit einer entsprechenden Auswahlregel), so dass sie als Symmetrie gelten würden.

Diese Symmetrie wird jedoch normalerweise durch nicht-störende Effekte (z. B. Monopole) gebrochen, für die die übliche S-Matrix unempfindlich ist. Darüber hinaus ist bekannt, dass Dualitäten keine Symmetrien der vollständigen Theorie sind, sondern besser als eine Änderung in unserer Beschreibung der Physik verstanden werden. Beispielsweise beziehen sich Dualitätstransformationen auf die Zustandssumme der Theorie bei unterschiedlichen Werten der Kopplung (siehe dieses Papier für ein Beispiel).

Danke, das ist interessant. Ich muss darüber nachdenken. Könnt ihr vorerst klären, wie die elektrisch-magnetische Dualität auf der Ebene des funktioniert S -Matrix? Gibt es einen Operator, der diese Symmetrie erzeugt, [ Q , F ] = θ ⋆ F , das pendelt mit S ?
Ja, es gibt einen Gebührenbetreiber Q was als Integral eines "Stroms" gegeben ist, der die Chern-Simons 3-Form ist. Ich schreibe Anführungszeichen um den Strom herum, weil er nicht eicheninvariant ist. Sie ändert sich jedoch nur um eine totale Ableitung unter einer Eichtransformation damit Q ist gut definiert. Dieser Operator pendelt mit S und gibt eine übliche Auswahlregel vom Typ "Ladungserhaltung" an.
Es ist verwirrend, aber ich denke, es ist falsch, eine Dualität als Redundanz zu betrachten. Bei speziellen selbstdualen Werten der Kopplungskonstanten hat man wirklich neue Symmetrien in der Theorie. Sie werden nicht automatisch gemessen. Nehmen R → 1 / R Dualität eines kompakten Bosons in 2d als Beispiel. Am Self-Dual-Radius wird die Symmetrie verstärkt S U ( 2 ) .
@RyanThorngren ja das stimmt, viele besondere Dinge passieren an festen Punkten. Aber ist das nicht übertrieben? was ein Beispiel für eine Symmetrie der S-Matrix findet, die keine Symmetrie der vollständigen Theorie ist. Mein Verständnis ist, dass dies für diese Art von Theorien abseits der selbst-dualen Punkte im Modulraum der Fall ist.
Können Sie bitte eine Referenz für die Aussage angeben, dass die S-Matrix nicht empfindlich gegenüber nicht störenden Effekten ist?
@jpm Ich kommentiere nur, weil Sie sagten: "Es ist bekannt, dass Dualitäten keine Symmetrien der vollständigen Theorie sind, sondern besser als Änderung unserer Beschreibung der Physik verstanden werden", was der Unterschied zwischen den selbstdualen Punkten ist mit einer zusätzlichen Symmetrie oder nur einer Eichsymmetrie.
@PeterKravchuk natürlich stimmt das in einer allgemeinen Theorie nicht, aber wir versuchen auch hier nur, ein Beispiel zu finden. Nun, mit der "üblichen S-Matrix" meine ich diejenige, die als Rest eines Korrelators lokaler Operatoren in einem trivialen Hintergrund definiert ist. Es gibt sehr alte Artikel ( this oder this ), die argumentieren, dass Monopole die Analytik verderben würden, wenn sie innerhalb des S-Matrix-Formalismus behandelt würden. (Fortsetzung unten)
Natürlich könnte die Lösung darin bestehen, zur dualen Beschreibung überzugehen, bei der die Monopole zu Feldquanten werden und es für sie eine wohldefinierte S-Matrix geben könnte. Ich gebe zu, dass dies etwas schwierig ist, da wir versuchen, uns die Dualität als eine Symmetrie der S-Matrix vorzustellen. Lass mich wissen was du denkst.

Ich denke, dass eine Symmetrie in Z perturbativ eine Symmetrie in S impliziert, da die perturbative S-Matrix aus der effektiven Aktion (die in direktem Zusammenhang mit Z steht) auf einfache Weise berechnet werden kann, die keinen Raum für das Brechen einer Symmetrie lässt.

Ob die Umkehrung gilt, ist fraglich, da nicht einmal klar ist, ob die S-Matrix die Wirkung bestimmt.

Vielen Dank. Betreff. Ihr erster Absatz: Das finde ich auch. Aber der Zweck dieses Beitrags war es, eine genauere Aussage zu haben, die über "Ich denke, es sollte funktionieren" hinausgeht. Betreff. Ihr zweiter Absatz: in der Tat, die S Die Matrix bestimmt nicht die Aktion, und das macht die Frage nicht trivial. Aber im Prinzip ist es vollkommen gültig, dass was auch immer die Aktion ist , wenn S hat eine Symmetrie, dann hat die Aktion eine Symmetrie. Die tatsächliche Verwirklichung der Symmetrie auf der Ebene der Handlung hängt sicher von der Handlung selbst ab. Aber ist es da oder muss es nicht?
Nun, für eine Richtung habe ich Gründe angegeben, die wahrscheinlich mit der üblichen Strenge der theoretischen Physik in einen Beweis umgewandelt werden können. Aber ich habe das Problem, das in der Literatur diskutiert wird, nicht gesehen und leider nicht genug Zeit, um die Details auszuarbeiten. - Für die andere Richtung gebe ich zu, dass Ihre Frage sinnvoll ist, aber die Nichteindeutigkeit macht eine positive Wette sehr riskant.
Quantensymmetrien: SSS oder ZZZ?
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