Wann ist eine Anomalie schleifengenau?

Lassen Sie mich vor der Beantwortung der Frage anmerken, dass die Anzahl der Schleifen, die erforderlich sind, um die Anomalie genau zu erhalten, keine unveränderliche Größe ist. Die Anomalie ist physikalisch, die Anzahl der Schleifen jedoch nicht.

Im Fall der chiralen Anomalie müssen wir ein Schleifendiagramm auswerten, da wir Grassmann-Felder als Koordinaten des unendlich dimensionalen Konfigurationsraums der Fermionen verwenden. Es ist sehr schwierig, die Quantenfeldtheorie anders zu machen, aber wir müssen bedenken, dass die Grassmann-Felder nur Koordinaten sind, also keine physikalische Bedeutung haben. Die chirale Anomalie kann auf Baumebene aus der klassischen Lagrangefunktion eines Weyl-Teilchens erhalten werden, dh klassisch siehe die folgende Arbeit von Stone und Dwivedi$^1$. Diese Arbeit basiert auf der bahnbrechenden Arbeit von: Stephanov und Yin (Chirale Kinetic Theory).

Die Essenz ihrer Konstruktion kann in ziemlich genialen einfachen Phasenraumargumenten formuliert werden, wie sie von Kharzeev auf der Grundlage einer tiefen Beobachtung von Gribov angegeben wurden .

Eine gründliche Untersuchung des Arguments von Stephanov und Yin (oder Stone und Dwivedi) zeigt, dass die einzige zusätzliche Information, die über die klassische Lagrange-Funktion eines Weyl-Teilchens hinaus benötigt wird, darin besteht, dass es der Fermi-Dirac-Statistik gehorcht (hier haben wir keine Grassmann-Variablen zu nehmen Pflege dieses Teils) und dass wir in der unendlichen Volumengrenze arbeiten.

Angesichts des oben Gesagten besteht das außergewöhnliche Phänomen der Anomalie darin, dass sie genau berechnet werden kann (unabhängig von der Anzahl der Schleifen). Sicherlich gibt es im Fall der chiralen Anomalie topologische Erklärungen für diese Exaktheit, aber die topologischen Argumente decken nicht alle Fälle ab, in denen Größen in der Störungstheorie exakt berechnet werden können.

Der tiefe Grund ist Supersymmetrie.

In der Mathematik ist dieses Phänomen durch äquivariante Lokalisierung bekannt, basierend auf der wegweisenden Arbeit von Duistermaat und Heckman, siehe die folgende physikalisch orientierte Übersicht von Szabo. (Die rigorosen mathematischen Ergebnisse existieren hauptsächlich für die endlichdimensionalen Fälle; die Pfadintegralanwendungen wurden in der physikalischen Literatur eingeführt; sie sind weniger rigoros, führten aber zu wunderbaren Ergebnissen, insbesondere von Witten).

Lokalisierung bedeutet im Grunde, dass anstatt das Integral über einen ganzen Phasenraum durchzuführen, das Ergebnis erhalten werden kann, indem die Beiträge einer kleineren Teilmenge summiert werden, die diskret sein kann, oder im Fall von Pfadintegralen eine endlichdimensionale Mannigfaltigkeit sein kann (statt der unendlich dimensionale Pfadraum). Bitte beachten Sie die folgende Präsentation von Hosomichi . Die Existenz von Supersymmetrie ist verantwortlich für die Lösbarkeit der$N=2$supersymmetrische Eichtheorien in$4$Maße.

Nun, wie die chirale Anomalie mit dem oben Gesagten zusammenhängt: Nach Schwingers Eigenzeitmethode können Prozesse, die durch Anregungen von Quantenfeldern beschrieben werden, als quantenmechanisch (d.h. in$0+1$Dimensionen) Wegintegrale finden Sie in der folgenden Übersicht von Bastianelli und van Nieuwehuizen. Dies gilt beispielsweise für den durch das Dreiecksdiagramm beschriebenen Prozess. Die quantenmechanische Wirkung beschreibt ein sich drehendes Teilchen in$0+1$Dimensionen, die supersymmetrisch ist, kann daher durch die Lokalisierungstechniken gelöst werden. Genau das taten Friedan und Windey in ihrer wegweisenden Arbeit .

$^1$Obwohl Stone und Dwivedi bemerken, dass die Ausrichtung des Spins entlang des Drehimpulses eines masselosen Teilchens ein Quantenphänomen ist; es kann vollständig in der klassischen Mechanik erhalten werden, siehe Duval und Horvathy .