Ich bin verwirrt über die Störungstheorie , wenn ich Quantenmechanik und Festkörpertheorie studiere .
Was ich über Störung lerne, ist aus meiner unwissenden Sichtweise nur Mathematik oder noch einfacher Matrizentheorie, unabhängig davon, ob es sich um konventionelle Störungstheorie, entartete Störung oder quasi-entartete Störung handelt.
Der Punkt ist, dass ich es nur als mathematisches Werkzeug verstehen kann und nicht als physikalisches Konzept. Baut die Störungstheorie einige Konzepte der Quantenphysik von Natur aus ein?
Wahrscheinlich ist es schwer, zu diesem Thema vollständig zu sein. Kann jemand eine Art "breiten Pinselstrich" machen?
Soweit es sich um eine Möglichkeit handelt, mathematische Gleichungen zu lösen, ist es Mathematik.
Der physikalische Gehalt liegt in der physikalischen Bedeutung der exakten Gleichungen und (wenn man es gut erwischt) in der ersten Näherung, die die Lösungen grob beschreibt. Perturbative Korrekturen modifizieren (geringfügig) die numerischen Werte der anfänglichen Annäherung.
Ich würde sagen, die Störungstheorie ist eine Verallgemeinerung mehrerer mathematischer Werkzeuge, die Sie in verschiedenen Bereichen finden - zB Taylor-Reihen, momentane Erweiterungen statistischer Variablen, Fourier-Reihen und im Allgemeinen jede konvergente unendliche Summe. Im speziellen Fall von Kernel-Störungen können Sie jede Störung des Kernels als Ergebnis eines Streuprozesses betrachten, der die Lagrange-Funktion in irgendeiner Weise beeinflusst.
Nach Ihrer Definition ist der größte Teil der Physik "nur Mathematik". Die klassische Mechanik ist "nur ein bestimmter Zweig dynamischer Systeme". Elektromagnetismus ist "nur PDEs mit Tensoren". Statistische Mechanik ist „nur das statistische Verhalten dynamischer Systeme“. Die Quantenmechanik ist „nur eine Beschreibung einer C*-Algebra“.
Die Unterscheidung kommt, wenn Sie die mathematischen Werkzeuge anwenden, um ein physikalisches Phänomen zu beschreiben. Wenn Sie die Störungstheorie auf eine physikalische Situation anwenden, ist sie nicht mehr „nur Mathematik“.
Wir können uns vorstellen, dass die komplizierte Anordnung sich bewegender Dinge, die „die Welt“ ausmachen, so etwas wie ein Schachspiel ist, das von den Göttern gespielt wird, und wir sind Beobachter des Spiels. Wir kennen die Spielregeln nicht; alles, was wir tun dürfen, ist, dem Spiel zuzusehen. Wenn wir lange genug zuschauen, werden wir natürlich einige der Regeln verstehen. Die Spielregeln sind das, was wir unter grundlegender Physik verstehen. Aber selbst wenn wir jede Regel kennen, ... was wir wirklich anhand dieser Regeln erklären können, ist sehr begrenzt, weil fast alle Situationen so enorm kompliziert sind, dass wir die Spielzüge nicht anhand der Regeln fließen lassen können, geschweige denn sagen, was wird als nächstes passieren. Wir müssen uns daher auf die grundlegenderen Fragen der Regeln beschränken. Wenn wir die Regeln kennen, glauben wir, dass wir die Welt „verstehen“.
Für die meisten Probleme in der Quantenmechanik ist es äußerst schwierig, exakte Lösungen der Schrödinger-Gleichungen zu erhalten, und man muss auf Näherungsverfahren zurückgreifen. Die drei wichtigsten sind
Die Annäherungen müssen mathematische Werkzeuge verwenden und eine der drei Methoden kann für den spezifischen Bereich der Komplexität gewählt werden.
Hier kommt das physikalische Bild des Problems ins Spiel. Beispielsweise können Variationsmethoden gute Ergebnisse für den Grundzustand liefern, und für einen angeregten Zustand kann die Störung ein besserer Ersatz sein, und für sanft variierende Potentiale liefert die JWKB ein gutes Ergebnis.
Was ich betonen möchte, ist, dass das physikalische Bild des Problems, die Art der Wechselwirkungen und die Auswahl der Störpotentiale, natürlich mit Einschränkungen, einen physikalischen Einblick geben und nicht nur das Spiel des „mathematischen Werkzeugs“ sind.
Die Quantenmechanik als solche wird von Studenten manchmal als "Mathematische Physik" angesehen, aber sie vergessen, dass Lösungen dieser partiellen Differentialgleichungen eine große Menge sein können, aber nur wenige, begrenzt durch die physikalischen Randbedingungen, als "echte Lösungen" aufgenommen werden müssen. .
Alles kann schließlich als mathematisches Werkzeug betrachtet werden. Die Physik stellt nur das Problem und interpretiert die Ergebnisse, aber die Entwicklung ist normalerweise reine Mathematik. Dies gilt für jedes Problem in jedem Physikzweig.
Manchmal müssen Sie jedoch mitten in der Entwicklung einige Informationen einbeziehen, die nur physikalischer und nicht mathematischer Natur sind. Bei Quantenstörungen beispielsweise ist die Tatsache, dass ein globaler Phasenfaktor irrelevant ist, eine physikalische Besonderheit. Das kann ein Mathematiker nicht sagen. Oder die Tatsache, dass man Energien vergleichen und sagen kann, ob erste Ordnung reicht. Wie ich es sehe, macht diese Art von zusätzlichen Informationen es zu "Physik" und nicht nur zu "Mathematik".
Nicht alle Probleme in der Physik sind hervorstechend. Sie können also nicht immer exakt geschlossen gelöst werden. Die Peturbationstheorie funktioniert gut, wenn Sie die geschlossene Lösung für ein bestimmtes Szenario genau kennen und dann das Problem geringfügig modifizieren (entweder die Form der zugrunde liegenden Gleichung oder die Anfangsbedingungen). Nach nullter Ordnung ist die Lösung des gestörten Szenarios ein und dieselbe wie die Lösung der ungestörten Lösung. Anschließend addieren Sie iterativ eine Lösung erster Ordnung zur Lösung nullter Ordnung und dann eine Lösung zweiter Ordnung zur Lösung erster Ordnung.
Michael
Lorniper
Daniel Sank