Ist es möglich, allein mit der Störungstheorie zu sagen, ob ein Potential unbeschränkt ist?

Ein sehr häufiges inverses Problem in der mathematischen Physik ist der Versuch, das Potenzial eines quantenmechanischen Systems anhand seiner Streudaten zu verstehen. Solche Probleme sind zwar sehr interessant, aber auch sehr herausfordernd und meist schlecht gestellt. Ich versuche, ein inverses Problem zu verstehen, das meiner Meinung nach besonders einfach ist.

Einige quantenmechanische Modelle sind schlecht definiert, weil ihr Potential von unten unbegrenzt ist (z. B. ϕ 3 ). Dennoch ist die Störungstheorie typischerweise wohldefiniert, zumindest im Sinne formaler Potenzreihen. Soweit Feynman-Diagramme betroffen sind, die Theorien ϕ 3 Und ϕ 4 unterscheiden sich nicht grundlegend, obwohl nur die zweite eine Annäherung an eine sinnvolle nicht-störungstheoretische Theorie darstellt. Dasselbe gilt für quantenmechanische Standardmodelle wie einen anharmonischen Oszillator mit kubischen und quartischen Termen.

Angenommen, wir haben eine beliebig große, aber endliche Anzahl von Termen in der Störungsentwicklung von beispielsweise der Zustandssumme eines bestimmten unbekannten Systems. (Erinnern Sie sich daran, dass der Logarithmus der Zustandssumme die Grundzustandsenergie darstellt, also im Prinzip beobachtbar ist). Frage: Können wir vorhersagen, ob das zugrunde liegende Potential einer solchen Reihe von unten begrenzt ist?

Mit anderen Worten, ein einzelner Term in der Störungsreihe ist im beschränkten und im unbeschränkten Fall qualitativ identisch. Aber was, wenn wir herauszoomen und viele Begriffe betrachten? Enthält die (abgekürzte) Reihe Informationen, anhand derer wir sie unterscheiden können? Oder ist der Reihe das Verhalten des Potentials weit entfernt von der Gleichgewichtsposition wirklich nicht bewusst?

Mir scheint klar, dass wir aus einer abgeschnittenen Reihe bestenfalls die Wahrscheinlichkeit vorhersagen können , dass das Potential begrenzt ist. Je mehr Terme, desto besser die Vorhersage (im Sinne eines Konfidenzintervalls). Solange die Zahl endlich ist, können wir nie sicher sein, ob das Potential begrenzt ist oder nicht. Aber gibt es überhaupt einen solchen probabilistischen Schätzer? oder ist es wirklich unmöglich, überhaupt eine Wahrscheinlichkeit vorherzusagen?

Dies scheint eine mathematische Frage zu sein, wie gut eine abgeschnittene Reihe eine Funktion darstellen kann, die eine unendliche Reihe von Termen erfordert.
@sammygerbil Nein, es interessiert mich nicht, wie gut die Serie eine Observable darstellt. Ich interessiere mich für die in der Serie enthaltenen Informationen, unabhängig von Konvergenzvorstellungen. Die Reihe hat keinen Zahlenwert; es kommt auf die Folge seiner Koeffizienten an. Mit anderen Worten, eine formale Potenzreihe in ihrem streng mathematischen Sinne (nicht die vage Vorstellung von formalen Reihen, die wir Physiker normalerweise verwenden). Aber ja: Meine Frage ist hauptsächlich mathematisch (obwohl sie dadurch nicht vom Thema abweicht: Es geht um mathematische Physik, die ontopisch ist).
Ihre Frage scheint im Allgemeinen schwierig zu sein, aber man kann eine triviale Beobachtung machen. Nehmen ϕ 4 mit falschem Vorzeichen für die Kopplung, wodurch das Potential nach unten unbeschränkt wird. Dies wird in der Störungsreihe sichtbar: Alle Terme haben das gleiche Vorzeichen.

Antworten (1)

Ich hoffe, ich verstehe mich nicht falsch; Ich denke, die Antwort ist sicherlich nein. Nehmen wir an, wir haben ein Potenzial v ( ϕ ) .

  • Die Störungstheorie kann nichtanalytische Dinge niemals so sehen e − 1 / X 2 . Also wenn das Potential ein Stück hat wie ϕ e − 1 / ϕ 2 es ist nicht begrenzt und Sie können es niemals anhand einer Störungsreihe erkennen. Ein noch einfacheres Beispiel wäre, sagen wir, δ ( ϕ − ϕ 0 ) für jeden ungleich Null ϕ 0 .
  • Selbst unter der Annahme, dass das Potenzial analytisch ist, kann jede endliche Kürzung nichts aussagen. Lassen
    v ( ϕ ) = ∑ N = 0 ∞ C N G N ϕ N
    Wo G ist unser Expansionsparameter. Wenn wir jede Menge bis zur Bestellung erweitern G M wir kennen nur die Koeffizienten bis zu C M . Aber egal ob oder nicht
    v M ( ϕ ) = ∑ N = 0 M C N G N ϕ N
    wird von unten begrenzt, weil es gerade noch völlig überfordert ist C M + 1 allein. Für jede Wahrscheinlichkeitsverteilung auf der C N was auch immer, solange alle C N kann sowohl positiv als auch negativ sein und die C N unabhängig sind, gibt die Kenntnis jeder endlichen Kürzung genau null Informationen.
  • Alternativ könnten wir einen viel spezielleren Prior auf der verwenden C N . Zum Beispiel, wenn wir irgendwie die vollständige summierte Form von wüssten v ( ϕ ) war, sagen wir,
    v ( ϕ ) = ( Polynom endlicher Ordnung mit  Ö ( 1 )  Koeffizienten ) × ( exponentiell )
    dann würden wir tatsächlich bei jeder Ordnung der Störungstheorie ein paar Informationen darüber aufnehmen, ob die Exponentialfunktion wächst oder abfällt. Ich denke jedoch, dass es sinnlos ist, einen Prior außerhalb eines physikalischen Kontexts zuzuweisen, um uns einen Hinweis darauf zu geben, was die UV-Vervollständigung ist. Wenn Sie den Kontext angeben, reduziert sich Ihre Frage im Grunde auf "die gesamte Teilchenphysik" (dh immer noch unmöglich), da es auf dem Gebiet darum geht, UV-Vervollständigungen aus physikalischen Daten zu finden.
Ich stimme zwar zu, dass die Störungstheorie der endlichen Ordnung das Potenzial niemals eindeutig spezifizieren kann, aber die Aussage, dass „die Störungstheorie niemals nichtanalytische Dinge sehen kann“, scheint vielleicht zu stark zu sein. In der Tat wurde kürzlich aktiv über das "Wiederaufleben" in der QFT geforscht, und (in den Fällen, die nachvollziehbar zu berechnen sind) gibt es nicht triviale Aufhebungen zwischen Divergenzen in der wiederaufgenommenen Störungsreihe und Instantonen, die erforderlich sind, damit die Theorie semiklassisch gut definiert ist . Sie können dasselbe in einfacher QM tun, aber soweit ich weiß, entdecken Sie im Grunde nur die Borel-Summierung wieder.
Könnten Sie mir helfen, Ihren ersten Punkt besser zu sehen? Ich fühle, dass ein solcher Begriff wie G ϕ e − 1 / ϕ 2 wird immer noch genauso viel zur Störungstheorie beitragen wie a G ϕ 3 Begriff würde. Ich könnte einen Begriff hinzufügen G X e − 1 / X 2 Begriff zum einfachen harmonischen Oszillator und erhalten eine Störungsreihe G . Weiter, G ϕ e − 1 / ϕ 2 würde immer noch ein unten begrenztes Potential ergeben, vorausgesetzt a ϕ 2 Begriff existiert mit dem richtigen Vorzeichen.
Ist es möglich, allein mit der Störungstheorie zu sagen, ob ein Potential unbeschränkt ist?
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