Zeitabhängige Potentiale in der Quantenmechanik

Es gibt mehrere Methoden und mehrere Gründe.

Die Trennung von Variablen ist nicht

Die Methode der „Variablentrennung“ ist in genau diesem Zusammenhang eine Fehlbezeichnung. Was die Trennung von Variablen in der Quantenmechanik wirklich bedeutet, ist, dass Sie das Eigenwertproblem für den linearen Operator des Hamilton-Operators lösen und dies die allgemeine Lösung durch Superposition ergibt. Formal kann dies durch eine Trennung von Variablen erfolgen, aber die mathematische Klassifizierung der Eigenfunktion/Eigenwert-Technik unterliegt der linearen Algebra und der Funktionsanalyse. Die Trennung von Variablen ist ein formaler Trick, der auch für einige nichtlineare Gleichungen funktioniert, um spezielle Lösungen zu finden, aber im Kontext der linearen Algebra ist es eine tiefgreifende Theorie, kein formaler Trick, daher ist es nicht gut, die beiden Methoden zu verschmelzen.

Wenn Sie die Gleichung haben

$$\partial_t \psi = A\psi$$

wo A ein linearer Operator ist, gibt das Eigenwertproblem eine Basis, wo die Gleichung gelöst ist (für alle diagonalisierbaren A), weil sich die Koeffizienten der Eigenbasis nur entsprechend dem Eigenwert bewegen.

Die Methode der Variablentrennung ist nur für nichtlineare Gleichungen von Bedeutung und interessant (außer als Äquivalent zur Eigenbasis) , bei denen die obige Interpretation nicht existiert, aber Sie können trotzdem manchmal Produktlösungen finden. Zum Beispiel für die Gleichung

$${(\partial_x\phi)^2\over \phi} + (x^2+a^2)\partial_x^2 \phi = \partial_t^2 \phi$$

Das reduziert sich durch Trennung der Variablen, aber diese Reduktion hat keine lineare Eigenwertinterpretation.

Exakte Lösungen

Sie müssen keine zeitabhängige Störungstheorie verwenden, Sie können eine exakte Lösung finden, wie im Fall eines Teilchens im zeitabhängigen konstanten Kraftfeld

$$V(t,x) = F(t)x$$

Was durch eine entsprechende zeitabhängige Anhebung des SE gelöst werden kann

Oder für ein Teilchen in einem bestimmten zeitabhängigen quadratischen Potential

$$V(x,t) = A(t) x^2$$

Was durch Pfadintegrale gelöst werden kann (zumindest formal und für bestimmte Wahlen von A(t)).

Sie können auch genau lösen

$$V(x,t)= C(t)\delta(x)$$ $$V(x,t)= A(t) x$$ $$V(x,t)= B(t) x^2$$ $$V(x,t) = A(t) x + B(t) x^2$$

Und wenn Sie anspruchsvoll sind, können Sie das Schrittpotential mit einem zeitabhängigen Schritt, Superpositionen von zeitabhängigen Deltafunktionen, lösen.

Bewegliche harte Wand

Ich werde die explizite Lösung für eine davon geben: die sich bewegende harte Wand. Eine Schrödinger-Welle mit Masse m und Impuls k nach rechts trifft auf eine harte Wand (ein unendlicher potenzieller Schritt), die sich mit der Geschwindigkeit v nach links bewegt. Was passiert?

Die Lösung ist eine Überlagerung von ankommender und reflektierter Welle, wobei die reflektierte Welle einen Impuls von -k+2mv hat und die Überlagerung am Ort der Wand in Phase verschwindet. Dies liegt an der Galileischen Invarianz – das Potenzial reduziert sich auf einen harten Schritt, wenn Sie einen Galileischen Schub auf einen Rahmen ausüben, der sich mit der Wand bewegt.

Die allgemeine Lösung ist die Überlagerung dieser reflektierten Wellen und nichts anderes als die verstärkte Lösung des Problems der unbewegten Bewegung.

Das konstante lineare Potential wird gelöst, indem es in einen Rahmen transformiert wird, der durch eine Geschwindigkeit verstärkt wird, die linear mit der Zeit zunimmt, wodurch das SE frei wird. Wenn der Boost-Parameter zu einer beliebigen Funktion der Zeit gemacht wird, lösen Sie das lineare Potential.

Plötzliche und adiabatische Annäherung

Sie können auch Probleme mit plötzlicher Änderung, bei denen das Potential plötzlich von einer Form in eine andere übergeht (dies ist das bekannte Beispiel für die plötzliche Annäherung), und adiabatische Probleme (bei denen sich das Potential zeitlich sehr langsam ändert) exakt lösen. Der adiabatische Fall ist am interessantesten, weil er Eigenzustände glatt in Eigenzustände überführt, außer wenn es Kollisionen von Eigenwerten gibt.

Numerische Methoden

Schließlich können Sie die SE numerisch lösen. Sie platzieren das SE auf einem Gitter mit Gitter x Abstand$\epsilon$, und Gitterzeitabstand$\epsilon^2$(Dies ist sehr wichtig bei einer naiven Diskretisierung, da Sie sonst Stabilitätsprobleme haben, siehe eine Referenz zu steifen Gleichungen).

Sie ersetzen den Laplace-Operator durch die Summe der Nachbarn minus dem Mittelwert und diskretisieren das Potenzial. Dann ist die Lösung ein numerisches Standardproblem.

Die zeitabhängige Störungstheorie ist das diskrete Pfadintegral

Die zeitabhängige Störungsreihe ist genau die Form, die das Feynman-Pfadintegral für einen diskreten Zustandsraum annimmt, wie die Eigenwerte eines bereits gelösten Hamiltonoperators. Als solches ist es nur eine formale Lösung des Problems, eine Formulierung in einer äquivalenten Sprache, mit Kürzungen, die jeder Ordnung oder Störungen entsprechen, die äquivalent sind, Potenzen des Potentials bei einer Erweiterung einer integralen Streuung eines Partikelpfads herunterzuziehen.

Um dies zu sehen, betrachten Sie die Schritte zum Ableiten des Pfadintegrals: Sie wandeln in eine Impulsbasis um und schieben in der Zeit durch freie Ausbreitung voran, dann in eine Positionsbasis und schieben in der Zeit um eine Phase für das Potenzial vor. Für diskrete Energieniveaus drängt die zeitabhängige Störungstheorie unter Verwendung von in der Zeit nach vorne$H_0$Hamiltonian, treibt dann den Interaktions-Hamiltonian voran.

Die Äquivalenz zwischen der zeitabhängigen Störungstheorie und dem diskreten Zustandspfadintegral wird (implizit) von Feynman in einem obskuren mathematischen Artikel aus den frühen 1950er Jahren angegeben, in dem er eine eigenwillige Notation für die zeitabhängige Störungstheorie entwickelt. Es fügt dem Formalismus nichts hinzu, es ist nur ein netter Gesichtspunkt.