Energieniveaus in unmittelbarer Nähe zueinander in der zeitunabhängigen degenerierten Störungstheorie

Question

Energieniveaus in unmittelbarer Nähe zueinander in der zeitunabhängigen degenerierten Störungstheorie

Johnbaltis

Ich habe zeitunabhängige Korrekturen der degenerierten Störungstheorie zweiter Ordnung auf die Energie mit der Methode angewendet, die in Modern Quantum Mechanics von JJ Sakurai vorgestellt wird.

Ich fasse diese Methode kurz zusammen:

Ich diagonalisierte meine Störung $V$ , schreiben $H_0$ (der ungestörte Hamiltonoperator) in der gleichen Basis und ich finde die Eigenkets von $H_0$ sein $\left|l^{\left(0\right)}\right\rangle$ .

Jetzt schaue ich mir den entarteten Unterraum an $D$ , Wo $\left|l^{\left(0\right)}\right\rangle$ hat nur 2 Vektoren und berechnet die Korrektur erster Ordnung:

Δ_{l}^{(1)} = ⟨ l^{(0)} | v | l^{(0)} ⟩

$\Delta_{l}^{\left(1\right)}=\left\langle l^{\left(0\right)}\right|V \left|l^{\left(0\right)}\right\rangle$

Dies wird eine 2 mal 2 Matrix (doppelt entartet), für die ich die Eigenwerte finde. Dies sind die Korrekturen der Energien.

und die Korrektur zweiter Ordnung.

Δ_{l}^{(2)} = \sum_{k \notin D} \frac{| v_{k l}^{2} |}{E_{D}^{(0)} - E_{k}^{(0)}}

$\Delta_{l}^{\left(2\right)}=\sum_{k\notin D}\frac{\left|V_{kl}^{2}\right|}{E_{D}^{\left(0\right)}-E_{k}^{\left(0\right)}}$

Wo $k$ sind Zustände, die nicht im entarteten Unterraum liegen
$E_{k}^{\left(0\right)}$ ist die Energie des Staates $k$ .
$E_{D}^{\left(0\right)}$ ist die Energie des entarteten ungestörten Zustands.

Das sind meine Ergebnisse: Ergebnisse der Störungstheorie

Die „exakten“ Ergebnisse erhält man durch numerisches Lösen der Schrödinger-Gleichung.

Jetzt ist mein Problem das folgende, die Korrektur des Grundzustands ist sehr gut (wie auf dem Bild zu sehen ist).

Die Korrekturen der zweiten und dritten Energien sind nicht so gut, das liegt daran, dass sie nahe beieinander liegen und somit der Nenner in der Korrektur zweiter Ordnung zu groß wird, was nicht gut ist (so wurde mir gesagt ).

Wie kann ich dieses Problem beheben?

Wenn etwas in meiner Frage unklar ist, lassen Sie es mich bitte wissen!

Ali Moh

Sie haben den Hamiltonian und die Störung in Ihrer Frage nicht dargestellt.

Johnbaltis

Ich denke (ziemlich sicher), dass die Lösung dieses Problems völlig unabhängig von der Form des fraglichen Hamilton-Operators ist. Diese (ziemlich komplizierten) Gleichungen habe ich bewusst weggelassen.

Martin

Ich sehe nicht, wie "die Energien zu nahe beieinander liegen" irgendetwas anderes mit dem Problem zu tun haben kann als Stabilitätsprobleme in der Numerik - es sei denn, dies impliziert (aus mathematischen Gründen), dass Sie große Korrekturen hoher Ordnung haben werden Terme, die nur eine Schlussfolgerung zulassen würden: Terme höherer Ordnung in die Berechnung einbeziehen ... Aber vielleicht bin ich falsch gedacht?

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Energieniveaus in unmittelbarer Nähe zueinander in der zeitunabhängigen degenerierten Störungstheorie

Sie haben den Hamiltonian und die Störung in Ihrer Frage nicht dargestellt.
Ich denke (ziemlich sicher), dass die Lösung dieses Problems völlig unabhängig von der Form des fraglichen Hamilton-Operators ist. Diese (ziemlich komplizierten) Gleichungen habe ich bewusst weggelassen.
Ich sehe nicht, wie "die Energien zu nahe beieinander liegen" irgendetwas anderes mit dem Problem zu tun haben kann als Stabilitätsprobleme in der Numerik - es sei denn, dies impliziert (aus mathematischen Gründen), dass Sie große Korrekturen hoher Ordnung haben werden Terme, die nur eine Schlussfolgerung zulassen würden: Terme höherer Ordnung in die Berechnung einbeziehen ... Aber vielleicht bin ich falsch gedacht?

Johnbaltis · Answer 1

Die zweite und die dritte Energiestufe wirken wie eine „fast“ Entartung und funktionieren daher nicht. Eine der Bedingungen für das Funktionieren der Störungstheorie ist, dass die Matrixelemente der Störung nicht größer sein können als der Abstand zwischen den Energieniveaus, was hier der Fall ist.

Eine Lösung wäre, für diese „fast“-Entartung eine echte Entartung einzuführen und die Differenz als Störung zu behandeln. Dies kann wie folgt durchgeführt werden, schreiben Sie den Hamilton-Operator in diagonaler Basis $H=diag(E_1, E_2, E_3, E_4, \cdots)$ Zu $H=diag(E_1, E_{23}, E_{23}, E_4, \cdots)$ mit einer zusätzlichen Störung $V=diag(0,-\Delta, \Delta,0,\cdots$ , Wo $E_{23}$ ist der Durchschnitt zwischen $E_2$ Und $E_3$ Und $\Delta$ die Unterschiede zwischen dem durchschnittlichen und dem tatsächlichen Energieniveau.

Ich habe dies implementiert und es ist ersichtlich, dass dies das Problem löst.

neue Lösung

John · Answer 2

Ich bin kein Experte für Quantenmechanik oder so, aber ich habe in letzter Zeit viel mit Partitionen und Skalierungsbezeichnungen gearbeitet.

Versuchen Sie, Ihre Magnetfeldintervalle auf solche zu ändern, die um 4,5 und 2,5, 8,5 und 1,4 herum konvergieren. Hier ist der Grund:

Es hat mit einer linearen Definition von 2 und 4 zu tun, wenn sie statt in Hälften und Vierteln in Dezimalzahlen umgewandelt werden. 4 ist 40 % von 10, aber 25 % von 16. Dies manifestiert sich im Timing, weil wir keine tabellarische Summierung mehr durchführen; wir tragen die 1 nicht wie sie es taten, als diese Konstanten entwickelt wurden.

Die rechtwinklige Eigenschaft des Magnetismus zum Durchmesser der Elektrizität verleiht ihm an den Ecken gegenüber der 9 eine echtere Wendung. Es ist nicht so gut wie ungerade Zahlen, aber es ist gut, um Punkte zu kippen, die übersehen werden. In Bezug auf die Minute und einen mit dem Pi-Verhältnis gezeichneten Kreis sind sowohl die elektrischen als auch die magnetischen Felder in den geteilten Intervallen senkrecht und nicht die ganzen, die auf Kästchen hinter dem Dezimalpunkt abgerundet werden.

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