Störungstheorie mit Entartung auch nach 1. Ordnung

Zuerst nur um sicherzugehen, was die Antworten auf dieses spezielle Problem angeht: die Eigenwerte der$4\times 4$Matrix sind

$$0,\quad U\quad {\rm and}\quad U/2\pm \sqrt{(U/2)^2+4t^2}$$ Bei Erweiterung auf die erste nichttriviale Ordnung sind die letzten beiden Eigenwerte $$0 - \frac{4t^2}U \quad {\rm and} \quad U+\frac{4t^2}U.$$ Beachten Sie, dass die Korrekturen der Energie bei Bestellung erfolgen $t^2$daher reicht die Störungstheorie erster Ordnung in diesem Fall nicht aus.

Zweitens ist das Problem, das uns daran hindert, die richtigen Eigenzustände mit der einfachen Methode auszuwählen, - wie Sie richtig bemerkt haben - dass die Matrix$V$, dh die Matrix multipliziert mit$t$, hat eine verschwindende obere linke Seite$2\times 2$Block sowie rechts unten$2\times 2$Block - beide Blöcke verschwinden.

So$V$hebt nicht nur die Entartung "innerhalb der entarteten Unterräume" auf. Das hängt natürlich damit zusammen, dass die erste Ordnung$O(t)$Korrekturen der Energieeigenwerte verschwinden.

Die Standardformel der Störungstheorie für die Energiekorrekturen zweiter Ordnung lautet

$$E_n = E_n^{(0)} + t \langle n^{(0)} |V|n^{(0)}\rangle + t^2 \sum_{k\neq n}\frac{\left| \langle k^{(0)} |V| n^{(0)} \right|^2}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} +O(t^3)$$ Jetzt die $t^2$Begriff sollte uns geben $\pm 4t^2/U$ob es funktioniert. Und natürlich tut es das, solange wir die richtigen Überlagerungen als Eigenvektoren nullter Ordnung wählen.

Lassen Sie uns insbesondere die Eigenvektoren aufdecken. Der Eigenwert$U$kommt mit dem Eigenvektor$(1,-1,0,0)^T / \sqrt{2}$und ebenso der Eigenwert$0$kommt mit dem Eigenvektor$(0,0,1,-1)^T / \sqrt{2}$. Das$U+4t^2/U$kommt von$(1,1,0,0)^T/\sqrt{2}$und ähnlich$0-4t^2/U$kommt von$(0,0,1,1)^T/\sqrt{2}$. Die Transposition bedeutet, dass die Vektoren in der herkömmlichen Spaltenform geschrieben werden sollten. Ich habe die hinzugefügt$1/\sqrt{2}$Faktor, um sie alle zu normalisieren - und sie sind auch orthogonal.

Für jeden berechneten Zustand (und seine Korrektur zweiter Ordnung zur Energie) gibt es nur einen Term ungleich Null in der$\sum_{k\neq n}$Summe. Sie hat den Nenner - die Energiedifferenz -$U$wenn wir rechnen$E_n$nahe$U$oder$-U$wenn wir rechnen$E_n$nahe$0$. Und es verbindet die Staaten$(1,1,0,0)^T/\sqrt{2}$mit$(0,0,1,1)^T/\sqrt{2}$oder umgekehrt.

Beachten Sie, dass das Matrixelement der$V$Matrix mit den beiden$((1,1),(1,1))$nicht diagonale Blöcke zwischen den beiden Zuständen, die ich am Ende des vorherigen Absatzes erwähnt habe$1/2$(von den beiden$1/\sqrt{2}$Normalisierungsfaktoren) Zeiten$8$(weil es acht Nicht-Null-Einträge gibt$t$in Ihrer Matrix, oder$1$in meinem, und jeder von ihnen trägt das gleiche zum Matrixelement bei).

Das Matrixelement ist also einfach$4$und die Störungstheorie gibt Ihnen das Recht$\pm 4t^2/E$Korrektur der Energie aus einem einzelnen Term mit dem richtigen Vorzeichen.

Nun, der einzige Schritt, den ich nicht ganz begründet habe, war die richtige Wahl der Eigenvektoren - wie z$(1,1,0,0)^T / \sqrt{2}$. Wie hätte ich sehen können, dass dies der Richtige war? Nun, in diesem Fall war es die intuitiv richtige Wahl. Während$2\times 2$Blöcke auf der Diagonalen bewahrten die Entartung, aus der die Energieverschiebung kam$2\times 2$Off-Block-Diagonal-Blöcke und solche, die es natürlich machten, diese Basis zu verwenden.

Allgemeiner gesagt, wenn wir uns in einer ähnlichen Situation befinden, in der die Entartung nicht durch Korrekturen erster Ordnung aufgehoben wird$V$in den Unterräumen müssen wir eigentlich diagonalisieren$V (H_0-E_0)^{-1\prime} V$wobei der Strich anzeigt, dass man die (divergierenden) Terme von den verschwindenden Energieunterschieden weglassen muss (natürlich brauchen wir ein vernünftiges Ergebnis). Das ist der Operator, dessen Erwartungswert uns de facto die Energiekorrektur zweiter Ordnung liefert.

In diesem speziellen Fall hat dieser Operator eine Blockdiagonalform,$U^{-1} {\rm diag} [ ((+1,+1),(+1,+1)), ((-1,-1),(-1,-1)) ]$, und durch Diagonalisieren erhalten Sie die richtigen anfänglichen Eigenvektoren, mit denen Sie umgehen müssen. Sobald Sie die richtigen Eigenvektoren haben, sind ihre Störungen bei jeder Ordnung der Störungstheorie infinitesimal und die Standardformeln der Störungstheorie funktionieren ohne zusätzliche Feinheiten, wie das obige Beispiel gezeigt hat.

Auch hier muss man nur auf die richtigen Anfangseigenvektoren nullter Ordnung achten. In einem allgemeineren Fall werden sie als Eigenvektoren von angegeben$V$Weil$V$hebt die Entartung in jedem Unterraum auf. Wenn es die Entartung nicht aufhebt, tun dies nur Terme höherer Ordnung. Aber der Betreiber$V (H-E_0)^{-1\prime} V$spielt die gleiche Rolle wie$V$, und durch Diagonalisieren erhalten wir die richtigen anfänglichen Eigenvektoren.

Diese Antwort ist im Grunde das, was ich aus der Antwort von Lubos Motl gelernt habe (hoffentlich verstehe ich es richtig), mit ein wenig Verallgemeinerung .

Frage aufgeworfen

Wir wollen einen Hamiltonoperator lösen$H=H_0+\lambda V$störend . Was wir wissen, ist die Lösung von$H_0$, deren Eigenzustände sind$|n^0\rangle$mit Eigenenergien$E_n^0$hat keine Entartung; es hat auch einen degenerierten Zustand$|d_i^0\rangle$mit Eigenenergie$E_d^0$, wo$i=1,2,3\cdots$g, der entartete Vektorraum$D$wird somit überspannt$|d_i^0\rangle$

Lösung

Im Allgemeinen wird die Entartung aufgehoben, wenn wir die Störung einschalten.

$$H|d_i\rangle=E_{di}|d_i\rangle$$ Wir müssen jedoch bedenken, dass, wenn wir die Störung ausschalten,$d_i$ist nicht unbedingt dazu neigen$d_i^0$wie$\lambda\to 0$. Vielmehr wird es zu einem Zustand tendieren $|l_i^0\rangle$was eine Linearkombination von ist $|d_i^0\rangle$. Offensichtlich wird der Vektorraum von aufgespannt $|l_i^0\rangle$ist auch $D$.

$$|d_i\rangle=|l_i^0\rangle+\lambda|d_i^1\rangle+\lambda ^2|d_i^2\rangle+\cdots\\ E_{di}=E_d^0+\lambda E_d^1+\lambda^2E_d^2+\cdots$$

Als Ersatz für die Shordinger-Gleichung erhalten wir:

Erste Bestellung:

$$(H_0-E_d^0)|d_i^1\rangle=(E_d^1-V)|l_i^0\rangle$$

Verwenden$\langle d_j^0|$zum inneren Produkt erhalten wir$\langle d_j^0|(E_d^1-V)|l_i^0\rangle=0$, dh Vektor$(E_d^1-V)|l_i^0\rangle$hat keine Komponente im Vektorraum$D$. Wir können dann sicher schreiben:

$$\tag{1} \begin{aligned} |d_i^1\rangle&=\frac{1}{H_0-E_d^0}(E_d^1-V)|l_i^0\rangle\\ &=P\frac{1}{H_0-E_d^0}P(E_d^1-V)|l_i^0\rangle\\ &=-P\frac{1}{H_0-E_d^0}PV|l_i^0\rangle \end{aligned}$$

wo$P=\sum_{n\notin D}|n^0\rangle\langle n^0|$ist der Projektionsoperator. Deutlich,$|d_i^1\rangle$hat auch keine Komponente im Vektorraum$D$.

Auch lassen$|l_i^0\rangle=\sum_j c_{ij}|d_i^0\rangle$, erhalten wir die Säkulargleichung:$(E_d^1\delta_{ij}-V_{ij})c_{ij}=0$, dies zu lösen, können wir bekommen$E_d^1$und$c_{ij}$also der Vektor$|l_i^0\rangle$die diagnostizieren$V$.

Zweite Bestellung

$$H_0|d_i^2\rangle+V|d_i^1\rangle=E_d^0|d_i^2\rangle+E_d^1|d_i^1\rangle+E_d^2|l_i^0\rangle$$

BH verwenden$\langle l_i^0|$um das innere Produkt zu tun, und bereitgestellt$|l_i^0\rangle$normalisiert, erhalten wir:

$$\tag{2} \begin{aligned} E_{di}^2&=\langle l_i^0|V|d_i^1\rangle \\ &=-\langle l_i^0|VP\frac{1}{H_0-E_d^0}PV|l_i^0\rangle \\ &=-\sum_{n\notin D}\frac{|\langle l_i^0|V|n^0\rangle|^2}{E_n^0-E_d^0} \end{aligned}$$

Eine sehr wichtige Bemerkung

Beachten Sie, dass in Gl. (2) $|l_i^0\rangle$ist der Staat, dass$| d_i(\lambda)\rangle$entwickeln, wenn wir die Störung allmählich ausschalten ($\lambda\to 0)$. Wie in zu sehen first order perturbation, sind es tatsächlich die Vektoren, die diagonalisieren$V$, und das entsprechende$V_{ii}$ist nur die Energie erster Ordnung.

Allerdings, wenn die Entartung nicht in erster Linie aufgehoben wird. Das "gute" Ket$|l_i^0\rangle$scheint nicht so gut, weil$|d_i(\lambda)\rangle$wird immer noch Unklarheit darüber haben, welcher endgültige Zustand sich entwickeln soll$\lambda\to 0$.

In diesem Fall brauchen wir zweite Ordnung, um die Entartung aufzuheben, und$\Lambda=VP\frac{1}{H_0-E_d^0}PV$spielt die Rolle von$V$wie bei der ersten Bestellung. die diagonalisierenden Zustände$\Lambda$als "gut" angesehen werden sollte, können Sie eine Matrix erstellen$g\times g$Bemaßung mit$|d_i^0\rangle$und die guten Zustände erhalten$|k_i^0\rangle$als lineare Kombination von ihnen das entsprechende$\Lambda_{ii}=\langle k_i^0|\Lambda|k_i^0\rangle$ist somit die Störenergie zweiter Ordnung.

Einige Bemerkungen: 1) Ein 3-dimensionales Beispiel ist die Matrix

 2 Εo         ΑΕ                     0

  Α*Ε          Εo                    2ΑΕ

    0            2Α*Ε                2 Εo

Auch dieser hat zwei entartete Zustände, die nicht direkt miteinander verbunden sind, sondern nur indirekt über den nicht entarteten zweiten Zustand. Tatsächlich ist einer der entarteten Zustände selbst bei voller Diagonalisierung unverschoben

2) Diagonalisieren, um die Eigenwerte zu finden: Dies ist als Post-Mortem ok, aber eine Art Schummelei, wenn man das Problem in der Störungstheorie lösen möchte: Wenn man die Analyse durchgeführt hat, um die Eigenwerte und Eigenvektoren der vollständigen Matrix zu erhalten, warum machen Störungstheorie? Natürlich ist es in den gezeigten Beispielen tatsächlich einfacher und schneller, das Problem genau zu lösen, als eine "Post-Mortem"-Analyse darüber durchzuführen, was nicht funktioniert hat und warum. Mit anderen Worten, das Problem ist: Wie gehen Sie vor, wenn Sie es absolut tun die Pert-Theorie verwenden möchten, ohne zuerst Eigenwerte und Eigenvektoren der vollständigen Matrix zu finden.

3) Was man leicht erkennen kann, ist, dass man Zustände außerhalb des entarteten Blocks einbeziehen muss, weil die entarteten Zustände nicht durch V- oder H'-Matrixelemente verbunden sind. Ich bin mir nicht sicher, was der Propagatorterm zweiter Ordnung in diesem Fall löst - das Problem ist nicht der Operator, sondern die verwendeten Zustände. Wie auch immer, der Punkt ist, dass die Störungstheorie hier nicht ausreicht. Schreibt man in meinem Beispiel |1'>=c11|1>+c21|2>+c31|3> und entsprechend für den Rest (Ε1 –2 Ε0 ) c11 = ΑΕ c21 (1) (Ε3 –2 Ε0 ) c33 = 2ΑΕ* c23 (2) (Ε1 -ε2)c21=Η21'c11 +Η23'c33+ Η22' c21 =>(Ε1 -Ε0 )c21=Η21'c11 +Η23'c33=> c21= [ Η23'c33 + Η21'c11 ] /(Ε1 –Ε0 ) (3)

(Ε3 -ε2)c23=Η23'c33 +Η21'c11+ Η22' c23 =>(Ε3 -Ε0)c23=Η23'c33 +Η21'c11=> c23= [Η23'c33 +Η21'c11 ] /(Ε3 – Ε0 ) (4)

und Eliminieren von c23 und c21 in (1) und (2) erhalten wir ein homogenes System

(Ε1 –2 Ε0 ) c11 = ΑΕ[ AEc33 + Α*Εc11 ] /(Ε1 –Ε0 )] (Ε3 –2 Ε0 ) c33 = 2Α*Ε[ AEc33 + Α*Εc11 ] /(Ε3 –Ε0 )

Wenn Sie die Determinante auf 0 setzen, erhalten Sie eine Gleichung, die E1 und E3 verbindet, aber das sind zwei Unbekannte. Unterm Strich also: In einem solchen Fall, in dem entartete Zustände nicht durch die Störung verbunden sind, diagonalisieren Sie den Teil, der aus diesen Zuständen besteht, plus die Zustände, die mit ihnen "am stärksten verbunden" sind, dh die stärksten Matrixelemente haben