Was ist der Vorteil der kanonischen Transformation, wenn man den effektiven Hamiltonian erhält?

Angenommen, wir haben Hamiltonian

H = H 0 + λ v

Wo H 0 ungestört hamiltonisch ist, wovon wir die eigenstastes kennen, und v ist eine Störung.

Beim effektiven hamiltonischen Ansatz unter Verwendung der kanonischen Transformation transformieren wir das hamiltonische Via

H e F F = e S H e − S

Wo S † = − S , So e S ist ein hermitescher Operator, also führen wir tatsächlich eine einheitliche Transformation von Hamilton durch. Dann erweitern Sie diesen Begriff mit der Identität

e S H e − S = H + [ S , H ] + 1 2 [ S , [ S , H ] ] + 1 3 ! [ S , [ S , [ S , H ] ] ] + . . .

wir erhalten den effektiven Hamiltonian als

H e F F = H 0 + λ v + [ S , H 0 ] + λ [ S , v ] + 1 2 [ S , [ S , H 0 ] ] + λ 1 2 [ S , [ S , v ] ] + . . .

Aber nach der Transformation sieht der obige Hamiltonian komplizierter aus als der ursprüngliche. In diesem Schritt sehe ich keinen Grund, warum wir die kanonische Transformation durchführen, um den effektiven Hamiltonian zu erhalten.

Das Buch sagt, dass, wenn wir den Operator finden können S was befriedigt

λ v + [ S , H 0 ] = 0

dann können wir den zweiten und dritten Term des effektiven Hamilton-Operators eliminieren, aber wir haben immer noch die Terme der unendlichen Reihe im Hamilton-Operator, was immer noch kompliziert aussieht.

Was ist der wesentliche Punkt dieses kanonischen Transformationsansatzes, wenn man den effektiven Hamiltonian erhält?

Es gibt eine andere Methode, die keine kanonische Transformation beinhaltet, die Feshbach-Projektionsoperatormethode, die zu einem effektiven Hamilton-Operator führt. Es wird in en.wikipedia.org/wiki/Feshbach%E2%80%93Fano_partitioning für eine bestimmte Situation diskutiert, aber sein Anwendungsbereich ist viel allgemeiner. Grundsätzlich wird ein geschlossenes Ergebnis auf einem Unterraum erhalten, der einem gegebenen Projektionsoperator zugeordnet ist P .

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Kanonische Transformation

Eine kanonische Transformation des Hamilton-Operators ist gegeben durch

H ' = e S H e − S ,
mit S anti-hermitianisch. Die Idee ist, bestimmte Terme im Hamiltonoperator durch eine Basisänderung zu eliminieren. Wir tauschen alte Freiheitsgrade gegen neue in der Hoffnung, dass der neue Hamiltonoperator einfacher zu lösen ist. Die gezielte Wahl von S hängt von der Anwendung ab. Die kanonische Transformation mit
[ S , H 0 ] = − λ v ,
heißt Schrieffer-Wolff-Transformation . Weitere Anwendungen finden Sie hier .

Schrieffer-Wolff-Transformation

Die Idee hinter diesem Schema besteht darin, die Projektion des Hamilton-Operators in einen Unterraum mit niedriger Energie bis zu einer bestimmten Ordnung zu erleichtern λ . Betrachten Sie den Fall, in dem das Ergebnis erster Ordnung Null ist:

H e F F = P G H 0 P G + P G v P G = E G P G ,
Wo P G der Projektionsoperator auf den (entarteten) Grundzustand des ungestörten Systems ist. Ein Beispiel ist Andersons Superexchange-Mechanismus für das Hubbard-Modell in der Grenze des Weak-Site-Hopping. In diesem Modell erfolgt das Tunneln zwischen Standorten nur über virtuelle Prozesse höherer Ordnung.

Also wollen wir eliminieren λ v aus dem Hamiltonian, der eine Darstellung geben wird, wo sich die Prozesse höherer Ordnung im Hamiltonian manifestieren. Um die Bestellung besser im Auge zu behalten λ , wir nehmen H ' = e λ S H e − λ S . Durch Auswählen S so dass [ S , H 0 ] = v , können Sie alle Begriffe bei der ersten Bestellung loswerden λ im transformierten Hamiltonoperator:

H ' = H 0 + λ 2 2 [ v , S ] + Ö ( λ 3 ) .
Jedes Semester ein H ' ausser für H 0 stellt einen Prozess höherer Ordnung dar. Bis zur zweiten Ordnung wird dann der effektive Hamiltonoperator
H e F F = P G H ' P G = E G P G + λ 2 2 P G [ v , S ] P G .

Beispiel

Betrachten Sie als Beispiel einen entarteten Grundzustand mit E G = 0 und lass P e sei die Projektion auf einen angeregten Unterraum mit ungestörter Energie E e . Gehe außerdem davon aus v verbindet nur außerdiagonale Elemente zwischen dem Grundzustand und diesem angeregten Zustand:

v = P G v P e + P e v P G .
Jetzt nimm
S = P G v P e − P e v P G E e .
und beachte das S † = − S und das
[ S , H 0 ] = 1 E e [ P G v P e − P e v P G , H 0 ] = P G v P e + P e v P G = v .
Der transformierte Hamiltonian wird
H ' = H 0 + λ 2 2 E e [ v , P G v P e − P e v P G ] = H 0 + λ 2 E e ( P e v P G v P e − P G v P e v P G ) .
Beachten Sie die Interpretation der beiden Terme zweiter Ordnung. Der Begriff P G v P e v P G stellt einen zweistufigen Tunnelprozess vom Grundzustand in einen angeregten Zustand und zurück dar. Der effektive Niederenergie-Hamiltonoperator wird
H e F F = P G H ' P G = − λ 2 E e P G v P e v P G .
In dem zuvor erwähnten Superaustauschmodell von Anderson repräsentiert dieser effektive Hamiltonoperator eine antiferromagnetische Austauschwechselwirkung.

Was ist der Unterschied zwischen der Standard-Störungstheorie (Berechnung der Energie erster und zweiter Ordnung und Wellenfunktionen, behandelt im Standard-QM-Buch) und diesem effektiven Störungsansatz? Wenn wir die Terme höherer Ordnung im effektiven Hamilton wegwerfen, ist es nicht dasselbe Verfahren wie die Berechnung der Energie erster oder zweiter Ordnung in der Störungstheorie? Eigentlich habe ich Bücher über frustrierten Magnetismus gelesen Link . Dieses Kapitel stellt einen effektiven Hamiltonschen Ansatz vor, um den stark entarteten Grundzustand zu lösen.
@ user42298 Imho gibt es keinen Unterschied. Es ist nur ein bequemer Trick. Da Sie von einem effektiven Hamilton-Operator sprechen, habe ich eine Art Störungsansatz angenommen. Auch der transformierte Hamiltonian H ' entspricht dem Original, daher verstehe ich nicht, warum Sie es als effektiv bezeichnen würden. Sie wird erst wirksam, wenn Sie sie auf den Grundzustand projizieren oder auf den Grundzustand beschränken. Wenn es eine Korrektur erster Ordnung gibt, ist der effektive Hamiltonoperator gerecht E 0 P G + λ P G v P G was das Ergebnis der degenerierten Störungstheorie erster Ordnung ist.
@ user42298 Ich habe eine nicht störende Anwendung der kanonischen Transformation gefunden. Die Idee ist, einen bestimmten Term loszuwerden und den Hamiltonoperator danach wieder in eine geschlossene Form zu bringen.
Sie sagen also, dass die kanonische Transformation selbst dieselbe ist wie die ursprüngliche Hamiltonian, da es sich nur um eine einheitliche Transformation handelt. Wenn wir es auf den Unterraum des Grundzustands projizieren oder Terme höherer Ordnung abschneiden, dann wird es effektiv hamiltonisch. Im Allgemeinen umfasst der transformierte Hamiltonian die Komponenten außerhalb der Diagonale, sodass die Beschreibung des Grundzustands nur unter Verwendung des effektiven Hamiltonians nicht genau ist. Wenn sich jedoch herausstellt, dass eine Transformation eine Blockdiagonalform oder nichtdiagonale Komponenten für den Unterraum des Grundzustands klein macht, können wir den Grundzustand leicht mit weniger Basis beschreiben.

So wie es aussieht, enthält der effektive Hamiltonoperator die gleichen Informationen wie der ursprüngliche. Aber beachten Sie das, angesichts der Bedingung λ v + [ S , H € ] = 0 , S ist proportional zu λ Die restlichen Bedingungen sind also in Ordnung λ 2 und höher. Somit ergibt das Abschneiden durch Weglassen dieser Terme ein reihenfolgerichtiges Ergebnis λ . Ich nehme an, das ist die Motivation hinter dem Verfahren. Sagt das Buch nichts darüber?

Ich denke, Ihre Antwort ist richtig. In der Einleitung dieses Kapitels heißt es: „Einige Freiheitsgrade wegtransformieren und eine effektive Interaktion zwischen den verbleibenden erzeugen“. Um den Hamiltonoperator genau zu lösen, müssen wir den gesamten Hilbertraum durchsuchen. Aber durch diese Art der Transformation können wir zumindest den Term erster Ordnung entfernen, sodass wir diesen Raum nicht durchsuchen müssen. Außerdem können wir, wenn wir die Terme höherer Ordnung des effektiven Hamilton-Operators abschneiden, den Hilbert-Raum wieder bemerkenswert verkleinern. Ich denke, diese Art der Reduktion ist die Essenz der kanonischen Transformation.
@ user42298 Warum sollten Sie den signifikantesten Term in der Störung loswerden, wenn er ungleich Null ist? Für mich macht das nur Sinn, wenn das Ergebnis erster Ordnung verschwindet. Ist dieses Verfahren überhaupt möglich, wenn Ihr ungestörter Unterraum eine Störungskorrektur erster Ordnung hat?
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