Störende Quantenmechanik

Zunächst verweise ich Sie auf das Lehrbuch von Prof. Binney (siehe unten), das die Störungstheorie in der Quantenmechanik ausführlich behandelt. Bei der Störungstheorie stören wir den Hamiltonoperator$H^{(0)}$eines analytisch gelösten Systems, dh die Eigenzustände und Eigenwerte sind bekannt. Speziell,

$$H^{(0)}\to H^{(0)} + \lambda H'$$

Wo$H'$ist die Störung, und$\lambda$ist eine Kopplungskonstante. Warum eine solche Konstante einbeziehen? Wie Binney sagt, stellt es uns einen „Schieberegler“ zur Verfügung, der, wenn er allmählich auf Eins erhöht wird, die Stärke der Störung erhöht. Wenn$\lambda = 0$, das System ungestört ist, und wann$\lambda=1$wir „stören das System vollständig“.

Einführung einer Kopplungskonstante$\lambda$bietet uns auch eine Möglichkeit, auf eine bestimmte Ordnung der Störungstheorie zu verweisen;$\mathcal{O}(\lambda)$ist erste Ordnung,$\mathcal{O}(\lambda^2)$ist zweiter Ordnung usw. Wenn wir die Potenzen der Kopplungskonstante erhöhen, hoffen wir , dass die Korrekturen abnehmen. (Die Reihen konvergieren möglicherweise nicht einmal.)

Eine Einschränkung: die Forderung, dass eine Kupplung$\lambda \ll1$möglicherweise nicht ausreichend oder korrekt, um sicherzustellen, dass die Kopplung klein ist; dies ist nur der Fall, wenn die Kupplung dimensionslos ist. Zum Beispiel, wenn die Kupplung, in Einheiten, wo$c=\hbar=1$, hatte eine Masse (oder äquivalent Energie) Dimension von$+1$, dann müssten wir fordern, um eine schwache Kopplung sicherzustellen,$\lambda/E \ll 1$, Wo$E$hatte Dimensionen von Energie. Solche Kopplungen sind als relevant bekannt, da sie bei niedrigen Energien hoch sind und bei hohen Energien die Kopplung gering ist.

• http://www-thphys.physics.ox.ac.uk/people/JamesBinney/QBhome.htm

Der Punkt der Einführung der Kopplungskonstante$\lambda$ist, dass die Störungsreihe in$\lambda$hat möglicherweise keinen Konvergenzradius $\geq 1$, dh die Potenzreihe könnte bei nicht konvergent sein$\lambda=1$, und daher ist eine Substitution möglicherweise nicht sinnvoll$\lambda=1$. Tatsächlich ist das normalerweise der Fall.

Trotzdem macht eine divergente Reihe als formale Potenzreihe immer noch Sinn , wenn wir einen freien Parameter haben $\lambda$. (Man mag denken$\lambda$als praktisches Buchhaltungsgerät, das die Störungsreihenfolge verfolgt.) Natürlich ist eine formale Potenzreihe von begrenztem Nutzen, wenn wir nicht wissen, wie man sie summiert.

Eine divergierende formale Potenzreihe kann jedoch wiederum eine asymptotische Reihe sein . Wenn wir davon ausgehen, dass das System störungsfrei sinnvoll ist (damit wir über das richtige Ergebnis sprechen können), kann es immer noch so sein, dass die ersten paar Terme der störungsfreien Potenzreihenentwicklung in$\lambda$kann eine hervorragende Annäherung darstellen, selbst wenn die vollständige Störungsreihe in$\lambda$ist divergierend.

Soweit ich verstehe, ist die Logik dahinter folgende.

Wir schreiben den Hamilton-Operator für das gestörte System als den Hamilton-Operator für das ungestörte System plus etwas Störung auf

$$\begin{equation} H = H^{(0)} + H' \, . \end{equation}$$

Unter der Annahme, dass die Störung allmählich angewendet wird, führen wir dann ein$H(\lambda)$Operator

$$\begin{equation} H(\lambda) = H^{(0)} + \lambda H' \, , \end{equation}$$ was identisch ist mit $H^{(0)}$Wenn $\lambda = 0$und ist identisch mit $H$Wenn $\lambda = 1$, wodurch sich ein kontinuierlicher Wechsel vom ungestörten zum gestörten System ergibt.

Wir nehmen schließlich an, dass die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für alle gilt$\lambda \in [0, 1]$

$$\begin{equation} H(\lambda) |n(\lambda)\rangle = E(\lambda) |n(\lambda)\rangle \, , \end{equation}$$ und wir stellen die Potenzreihenerweiterungen für vor $|n(\lambda)\rangle$Und $E(\lambda)$du erwähntest.

In letzter Zeit haben wir oft gesetzt$\lambda$gleich 1, wenn wir an dem vollständig gestörten System interessiert sind.

Falls$H'$ist in gewissem Sinne klein bzgl.$H_0$man schreibt normalerweise

$$H(\lambda)=H_0+{\lambda}H'.$$ Wenn die Eigenwerte von $H_0$bekannt sind, erhält man dann eine Störungsreihe, die die Eigenwerte und Eigenvektoren von ausdrückt $H$in Bezug auf die von $H_0$. $\lambda$wird in erster Linie eingeführt, um den Überblick über Begriffe zu behalten.

Komplikationen treten bei einem Eigenwert von auf$H_0$entartet und in ein Kontinuum eingebettet ist.

Es gibt eine umfangreiche Literatur zu diesem Thema. In den Bänden von Reed und Simon findet man viel über den mathematischen Hintergrund.