Griffiths Einführung in QM Abschnitt 9.1.2: Welche Art von Annäherung verwendet er hier und was ist die Begründung dafür?

Question

Griffiths Einführung in QM Abschnitt 9.1.2: Welche Art von Annäherung verwendet er hier und was ist die Begründung dafür?

Physik
Quantenmechanik
Störungstheorie

Wikkyd

Ich verstehe Griffiths Logik in diesem Abschnitt wirklich nicht und frage mich, ob jemand helfen könnte. Dies ist im Grunde ein gekoppeltes System 1. Ordnung gewöhnlicher Differentialgleichungen, aber ich habe noch nie eine Annäherung wie diese gesehen.

Der Kürze halber $f(t)=-\frac{i}{\hbar}H'_{ab}e^{-i\omega_0t}$ Und $g(t)=-\frac{i}{\hbar}H'_{ba}e^{i\omega_0t}$ also das Gleichungssystem (aus Griffiths Gleichung 9.13)

\begin{aligned} {\dot{C}}_{A} & = F (T) C_{B} \\ {\dot{C}}_{B} & = G (T) C_{A} [9.13] \end{aligned}

$\begin{align*} \dot c_a &= f(t)\,c_b\\ \dot c_b &= g(t)\,c_a \hspace{10mm} [9.13] \end{align*}$

Beachten Sie beides $c_a$ Und $c_b$ sind Funktionen der Zeit. Griffiths fährt dann fort, die Ableitung von a auszudrücken $n$ Näherung der nächstniedrigeren Ordnung proportional zur nächstniedrigeren Näherung der anderen Systemvariablen.

Zum Beispiel gibt Griffiths in Gleichung 9.18 an

\frac{D C_{A}^{(2)}}{D T} = F (T) C_{B}^{(1)} [9.18]

$\frac{d c_a^{(2)}}{dt} = f(t) \, c_b^{(1)} \hspace{10mm} [9.18]$

Ich verstehe nur nicht, wie ich das begründen soll? (Hinweis: Griffith sagt, dass sein hochgestellter Index in Klammern die Reihenfolge der Annäherung angibt.)

So wie ich das gelesen habe $c_a^{(n)}$ Und $c_b^{(n)}$ sind nur $n$ Erweiterungen der Ordnung $c_a$ Und $c_b$ . Also in meinem Kopf denke ich darüber nach, ob wir uns gegenseitig annähern $n$ Begriffe sollten stattdessen so etwas wie Gleichung 9.18 oben sein

\frac{D C_{A}^{(2)}}{D T} = F (T) C_{B}^{(2)}

$\frac{d c_a^{(2)}}{dt} = f(t) \, c_b^{(2)} \hspace{10mm}$

Mit anderen Worten, wir nehmen die Ableitung von $c_a$ und es nur approximieren, um 2 Terme zu sagen, sollten wir dann nicht die gleiche Ordnungsnäherung für verwenden $c_b$ im Gleichungssystem [9.13]?

Warum kann Griffiths das tun? Warum können wir einfach bei der Annäherung niedrigerer Ordnung bleiben, um nach der nächsthöheren aufzulösen?

Färcher

In Ihrem Ausdruck [9.18] wo sind Sie hingekommen?

c_{b}^{(2)}

$c_b^{(2)}$ aus?

Wikkyd

Griffiths verwendet

c_{b}^{(1)}

$c_b^{(1)}$ in [9.18] und erhält es aus Gleichung [9.17]. Wo ich hinkam

c_{b}^{(2)}

$c_b^{(2)}$ dachte in die folgende Richtung: Das wissen wir aus [9.13].

{\dot{c}}_{a} = f (t) c_{b}

$\dot c_a=f(t)\,c_b$ . Wenn wir uns also annähern

c_{a}

$c_a$ auf nur zwei Terme,

c_{a} \approx c_{a}^{(2)}

$c_a \approx c_a^{(2)}$ dann sollten wir uns nicht auch annähern

c_{b}

$c_b$ bis zum Term 2. Ordnung,

c_{b} \approx c_{b}^{(2)}

$c_b \approx c_b^{(2)}$ ? Dies zu tun und beide Näherungen zweiter Ordnung in Gleichung [9.13] einzusetzen, würde ergeben

{\dot{c}}_{a}^{(2)} = f (t) c_{b}^{(2)}

$\dot c_a^{(2)}=f(t)\,c_b^{(2)}$ für Gleichung [9.18] statt dessen.

Antworten (1)

Griffiths Einführung in QM Abschnitt 9.1.2: Welche Art von Annäherung verwendet er hier und was ist die Begründung dafür?

In Ihrem Ausdruck [9.18] wo sind Sie hingekommen? $c_b^{(2)}$ aus?
Griffiths verwendet $c_b^{(1)}$ in [9.18] und erhält es aus Gleichung [9.17]. Wo ich hinkam $c_b^{(2)}$ dachte in die folgende Richtung: Das wissen wir aus [9.13]. $\dot c_a=f(t)\,c_b$ . Wenn wir uns also annähern $c_a$ auf nur zwei Terme, $c_a \approx c_a^{(2)}$ dann sollten wir uns nicht auch annähern $c_b$ bis zum Term 2. Ordnung, $c_b \approx c_b^{(2)}$ ? Dies zu tun und beide Näherungen zweiter Ordnung in Gleichung [9.13] einzusetzen, würde ergeben $\dot c_a^{(2)}=f(t)\,c_b^{(2)}$ für Gleichung [9.18] statt dessen.

udrv · Answer 1

Dies ist eine typische Störungsausdehnung, obwohl sie eher prosaisch dargestellt wird.

Was normalerweise zur Bequemlichkeit der Erweiterung getan wird, ist das Anbringen $H'$ eine (zeitunabhängige) Kopplung oder Skalenkonstante, sagen wir $H' \rightarrow \lambda H'$ , und die Annahme explizit zu machen, dass Lösungen als Störungsentwicklungen in gesucht werden $\lambda$ :

C_{A} (T) = C_{A}^{(0)} (T) + λ C_{A}^{(1)} (T) + λ^{2} C_{A}^{(2)} (T) + \dots C_{B} (T) = C_{B}^{(0)} (T) + λ C_{B}^{(1)} (T) + λ^{2} C_{B}^{(2)} (T) + \dots

$c_a(t) = c_a^{(0)}(t) + \lambda c_a^{(1)}(t) + \lambda^2 c_a^{(2)}(t) + \dots\\ c_b(t) = c_b^{(0)}(t) + \lambda c_b^{(1)}(t) + \lambda^2 c_b^{(2)}(t) + \dots$ Wenn diese Erweiterungen in Ihre Gleichungen (9.13) eingesetzt werden, erzeugen sie eine Hierarchie von Differentialgleichungen aus der Forderung, dass die Polynomentwicklungen für beliebig gelten

λ

$\lambda$ . Das heißt, zuerst erhalten

{\dot{C}}_{A}^{(0)} (T) + λ {\dot{C}}_{A}^{(1)} (T) + λ^{2} {\dot{C}}_{A}^{(2)} (T) + \dots = λ F (T) [C_{B}^{(0)} (T) + λ C_{B}^{(1)} (T) + λ^{2} C_{B}^{(2)} (T) + \dots] {\dot{C}}_{B}^{(0)} (T) + λ {\dot{C}}_{B}^{(1)} (T) + λ^{2} {\dot{C}}_{B}^{(2)} (T) + \dots = λ G (T) [C_{A}^{(0)} (T) + λ C_{A}^{(1)} (T) + λ^{2} C_{A}^{(2)} (T) + \dots]

$\dot c_a^{(0)}(t) + \lambda \dot c_a^{(1)}(t) + \lambda^2 \dot c_a^{(2)}(t) + \dots = \lambda f(t)\left[ c_b^{(0)}(t) + \lambda c_b^{(1)}(t) + \lambda^2 c_b^{(2)}(t) + \dots \right]\\ \dot c_b^{(0)}(t) + \lambda \dot c_b^{(1)}(t) + \lambda^2 \dot c_b^{(2)}(t) + \dots = \lambda g(t)\left[ c_a^{(0)}(t) + \lambda c_a^{(1)}(t) + \lambda^2 c_a^{(2)}(t) + \dots \right]$ identifizieren Sie dann die Koeffizienten der aufeinanderfolgenden Potenzen von

λ

$\lambda$ :

$\lambda^0$ :

{\dot{C}}_{A}^{(0)} (T) = 0 {\dot{C}}_{B}^{(0)} (T) = 0

$\dot c_a^{(0)}(t) = 0\\ \dot c_b^{(0)}(t) = 0$

λ

$\lambda$ :

{\dot{C}}_{A}^{(1)} = F (T) C_{B}^{(0)} {\dot{C}}_{B}^{(1)} = G (T) C_{A}^{(0)}

$\dot c_a^{(1)} = f(t) c_b^{(0)}\\ \dot c_b^{(1)} = g(t) c_a^{(0)}$

λ^{2}

$\lambda^2$ :

{\dot{C}}_{A}^{(2)} = F (T) C_{B}^{(1)} {\dot{C}}_{B}^{(2)} = G (T) C_{A}^{(1)}

$\dot c_a^{(2)} = f(t) c_b^{(1)}\\ \dot c_b^{(2)} = g(t) c_a^{(1)}$ Im Allgemeinen z

k \geq 1

$k\ge 1$ ,

{\dot{C}}_{A}^{(k)} = F (T) C_{B}^{(k - 1)} {\dot{C}}_{B}^{(k)} = G (T) C_{A}^{(k - 1)}

$\dot c_a^{(k)} = f(t) c_b^{(k-1)}\\ \dot c_b^{(k)} = g(t) c_a^{(k-1)}$ Der Rest folgt aus der sukzessiven Lösung von Gleichungen niedrigerer Ordnung. und Einsetzen in den nächsten Auftragssatz.

Wie Musik. Danke udrv, das hat es für mich vollständig geklärt. :)
Ich helfe gerne :) Und danke, dass du es repariert hast! Habe vergessen, meine Copy-Paste-Routine zu beenden :(

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Wikkyd

Färcher

Wikkyd

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udrv

Wikkyd

udrv

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