Störungstheorie in zweiter Quantisierung

Ich beschäftige mich mit der Elektron/Phonon-Wechselwirkung in der QM. Insbesondere angesichts des Hamilton-Operators eines Festkörpers

H = H El + H Ion + H el-ion

wir haben, dass der El-Phonon-Hamiltonoperator bezüglich gestört behandelt wird H El + H Ion

und unter Vernachlässigung von Umklapp-Prozessen, die wir haben

H el-ion = Σ Q → v ( Q → ) ⋅ ( A † ( − Q → ) + A ( Q → ) ) ⋅ C k → + Q → † C k →

Nach diesem Hamiltonoperator können wir sehen, dass nur zwei Prozesse erster Ordnung zugelassen sind (Emission eines Impulsphonons − Q → und Absorption eines Impulsphonons Q → ).

Dann angenommen, alle Zustände des ungestörten Hamiltonoperators zu kennen H El + H Ion , bezeichnet sie mit | ψ N ( 0 ) ⟩ wir berechnen die Korrektur des Grundzustands dieses Hamilton-Operators unter Verwendung der Störungstheorie und erhalten

E G S 1 = ⟨ ψ 0 ( 0 ) | H el-ion | ψ 0 ( 0 ) ⟩ = 0

was bedeutet, dass Prozesse 1. Ordnung (Absorption/Emission) Energieniveaus nicht ändern, während

E G S 2 = Σ N > 0 | ⟨ ψ N ( 0 ) | H el-ion | ψ 0 ( 0 ) ⟩ | 2 E 0 ( 0 ) − E N ( 0 ) ≠ 0

Das bedeutet, dass der Prozess 2. Ordnung (el/el effektive attraktive Kopplung aufgrund eines Austauschs eines Phonons) Energie ändert.

Es scheint mir, dass es eine Beziehung zwischen der Reihenfolge der Korrektur in der Störungstheorie und der Reihenfolge des Prozesses gibt, der diese Korrektur verursacht hat (und physikalisch ist dies intuitiv, da Korrekturberechnungen in erster Ordnung nur eine Wellenfunktion beinhalten, während wir in Korrektur zweiter Ordnung zwei verschiedene Wellenfunktionen haben beteiligt).

Ist das, was ich sage, richtig? Wenn ja, wie sagt man das formell? Mit anderen Worten, gibt es eine Beziehung zwischen der Reihenfolge eines Prozesses und der Reihenfolge in der Korrektur der Störungstheorie?

Ja, Sie haben Recht und es wird in der Pfadintegralformulierung deutlicher. Ich bin nicht kompetent genug, um dies selbst zu demonstrieren, aber Sie sollten die Dinge in Pfadintegral- und Feynman-Diagrammen nachschlagen.
Ich bin ein wenig verwirrt über Ihre Frage. Sie sagen: "Es scheint mir, dass es eine Beziehung zwischen der Reihenfolge der Korrektur in der Störungstheorie und der Reihenfolge des Prozesses gibt, der diese Korrektur verursacht hat", aber das ist in gewissem Sinne per Definition trivial wahr. Die "Ordnung einer Korrektur in der Störungstheorie" und die "Ordnung eines Prozesses" sind buchstäblich dasselbe. Versuchen Sie zu fragen, warum Energieniveaus physisch von Prozessen 2. Ordnung beeinflusst werden?

Antworten (1)

1) Ihr Störungsoperator behält die Teilchenzahl der Phononen nicht bei, daher tragen nur gerade Potenzen davon zu Gleichgewichtserwartungswerten bei. Da Sie nur am Grundzustand interessiert sind, der keine angeregten Phononen hat, bedeutet dies, dass Sie zuerst ein Phonon erzeugen müssen. Danach kann entweder ein weiteres Phonon erzeugt oder das erstere zerstört werden. Nur Prozesse, die in den Grundzustand zurückkehren, tragen zum Erwartungswert bei, und dafür müssen Sie den Wechselwirkungsoperator offensichtlich gleich oft anwenden.

2) In einem Pfadintegral können die Phononen herausintegriert werden, wobei eine effektive Elektron-Elektron-Wechselwirkung zurückbleibt. Auch das ist proportional zum Quadrat des Störungsmatrixelements.

Punkt 1 ist genau richtig, und es wäre wirklich schön, eine physikalische Intuition dafür zu geben, auch wenn diese "physikalische" Intuition immer noch ein bisschen mathematisch ist. Punkt 2 ist auch genau richtig, und ich frage mich, ob Sie angeben könnten, warum die effektiven Kopplungen zweiter Ordnung in Bezug auf den Kopplungs-Hamilton-Operator sind. Ich meine, es ist irgendwie offensichtlich, basierend auf # 1, aber wenn Sie ein kleines allgemeines Beispiel oder ein Spielzeugproblem zeigen könnten, würde es wirklich helfen.
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