Zusammenhang zwischen Störungstheorie und Taylorentwicklung in der QM

Ja. Vermuten

$$H=H_0+\epsilon H_1=\left(\begin{array}{cc}A & 0 \\ 0 & B\end{array}\right)+ \epsilon\left(\begin{array}{cc}a & b \\ b & c\end{array}\right)$$ Wo $a, b$Und $c$sind der Einfachheit halber real. Sie können leicht ausrechnen, dass die genauen Eigenwerte sind $$\lambda_\pm = \frac{1}{2}\left(A + B +\epsilon (a+ c) \pm \sqrt{(A-B)^2+\epsilon(A-B)(a-c)+\epsilon^2((a-c)^2+4b^2)}\right)\, .$$ Erweitern - sagen wir - des ersten Eigenwerts in kleinen Potenzen $\epsilon$ und unter der Annahme, dass AB "groß genug" ist, um es aus der Quadratwurzel zu faktorisieren, ergibt sich $$A+ a \epsilon +\epsilon ^2 \frac{b^2 }{A-B}$$ was gerecht ist $E_1^{0}+\epsilon \langle 1\vert H_1\vert 1\rangle + \epsilon^2 \frac{\vert \langle 1\vert H_1\vert 2\rangle\vert^2}{E^{0}_1-E^{0}_2}$wie von der Störungstheorie "vorhergesagt".

Ich nehme an, was Sie getan haben, muss im Wesentlichen dem oben Gesagten entsprechen. Dies ist eine gute Übung, weil Sie auch sehen können, warum die ungestörten Energien so sein müssen$A\ne B$: Wenn$A=B$Dann$H_0$ist im Grunde die Einheitsmatrix und die Eigenvektoren sind die von$H_1$da jede Ähnlichkeitstransformation kein Vielfaches der Einheitsmatrix beeinflusst. Darüber hinaus der Fall$A=B$ergibt eine Vereinfachung in der Diskriminante, die nicht mehr enthält$A$oder$B$, wobei die Annahme über die Differenz getroffen wird$A-B$ungültig.

Dies kann auf jede hermitesche Matrix verallgemeinert werden. Die Schwierigkeit besteht darin, dass es nicht so einfach (und im Allgemeinen unmöglich) ist, eine geschlossene Form für die Eigenwerte aufzuschreiben, aber die$2\times 2$Beispiel zeigt, dass Sie, wenn Sie könnten, die Ergebnisse der Störungstheorie Term für Term wiederherstellen müssen.

Die Eigenwerte können schließlich nicht davon abhängen, wie man sie berechnet, also erst genau und dann expandieren, erst expandieren und dann die Terme addieren.

Ich dachte, wenn wir die Matrix m=2 mal 2 Matrix schreiben. Dann ist die$\lambda H'$(die als unbekannt behandelt wurde), könnte als lineare Kombination von gedacht werden$\lambda(H^1+\lambda H^2 + ...)$.

In einem Sinn$\lambda$hier war$x$in der Taylorentwicklung und die Folge von$H^1+\lambda H^2 + ...$, wenn Sie an jeden der vier Indizes dachten, waren sie eigentlich "unabhängig" voneinander. Damit hat man praktisch vier unabhängige Sequenzen für die maßgeschneiderte Erweiterung aller möglichen Funktionen an den vier Stellen in der Matrix. Wo die Kombination von$\psi^j_n$Und$E^j_n$waren die resultierenden Funktions- und Energiezustände für jeden$\lambda^j$'s Macht. (Notiz$\psi^j_n$Und$E^j_n$war die Summe aller Taylor-Entwicklungen für die Lösung von$H^i$in jedem$j$Staaten und dann eine doppelte Summe reichen aus$n=0$zur Unendlichkeit.)

Abschließend gab es zwei Sätze von Taylor-Erweiterungen. Eins für$H^i$wo dargestellt die Kombination von Taylor-Erweiterungen für$m^2$Anzahl der Plätze. Zwei war die maßgeschneiderte Erweiterung von$\psi^{ij}$Und$E^{ij}$für jede$H^i$Operator.

Beachten Sie die Grenzen der taylr-Erweiterung, die durch die physikalische Annahme behoben wurde, dass das System nicht explodiert (Singularitäten) oder Diskontinuitäten, und glatt bedeutet, dass Sie immer eine bekommen können.

Auch, um es klarer zu sagen, ich vermute das$E^j_n$in griffiths war eigentlich die summe von allem$j$Zustände aller$E^{ij}_n$Wo$E^{0j}_n$Der Basisfall wurde ausgeschlossen, ebenso die$\psi_n^{j}$.